光滑曲线_微分几何笔记(4) —— 二维三维空间中曲线的曲率以及环绕数

2021年11月18日 4点热度 0条评论 来源: weixin_39826984

 本篇文章我们从一般化的

空间回到我们生活的
空间,看看低维空间中的曲线有哪些性质,主要计算下在非弧长参数下的曲线,曲率挠率的一般表达式。 最后引入环绕数的概念,讲讲怎么数曲线转了多少圈。

4.1 二维空间中的曲线

二维空间中的曲线(plane curves)的Frenet运动方程:

这里

,曲率
,详细的定义写在之前一篇笔记中。 进一步,在弧长参数下有
所以有

这里我们可以看到平面曲线曲率正负的意义: 首先最主要的一点是,因为在每一点曲率是一个数而已,这说明曲线二阶导的方向,与

的方向相同或者相反,总之他们在一条直线上!

(我写完之后几天又绕回了这个问题,发现这是相当本质的一个结论,

维欧式空间中,非退化的曲线,在弧长参数下,自身前
阶导数就是正交的!)(那么对于k>n,k阶导数呢?)

因为二阶导数的正负,决定了曲线的凹凸性,二阶导大于0,曲线下凸;二阶导小于0,曲线上凸;二阶导等于0,曲线没有凸性。 再结合由Frenet标架自身性质所决定的,

为曲线的切线方向,

逆时针旋转
得到(为了和
空间中的基底保持相同定向。)所以我们知道,
表示
与曲线弯曲方向相同,反之,则相反;若
自然表示曲线在这一点处不弯曲。

接下来,我们来算一算,如果不对曲线进行弧长参数化,用最原本的参数,曲率的表达式是怎样的:

Proposition 4.1.1

为一条满足Frenet条件的参数化平面曲线,则其曲率
.

Proof: 对任意参数曲线,都可以写成

的形式,这里
(证明写在笔记(2)中的命题2.2.5)

那么

注意这里

写成矩阵的形式:

由于曲率在参数变换下不变,上式两边取行列式便得到了结果。

事实上,曲线为平面圆周,当且仅当曲率恒为非零常数;当曲率恒为零时,对应的曲线退化为一条直线。

4.2 三维空间中的曲线

类似的,我们可以计算一般非弧长参数曲线的曲率。在三维空间中,“曲率”含有两部分,曲率

和挠率
,分别计算下:

Proposition 4.2.1

为一条满足Frenet条件的参数化空间曲线,则其曲率
,
.

Proof: 与二维情况类似,将曲线写为

,然后求导,写成矩阵形式:

先计算曲率


由曲率的参数变换不变性,

.

再在上面矩阵两边取行列式,就得到:

空间曲线由曲率和挠率唯一决定,假若二者均为常数(注意在空间中,曲率

):

1.当

时,曲线为螺旋线(Helix);

2.当

恒为非零常数时,曲线退化为平面圆周。

证明也很简单,一方面螺旋线的曲率挠率恒为常数;另一方面,任意恒为常数的曲率挠率,总可以写成螺旋线所对应的形式。

接下来我们再来看一看Frenet标架,是如何唯一决定曲线的. 我们试图对一条弧长参数化曲线进行泰勒展开来做,这就涉及到用Frenet标架来表示曲线的导数,这个也好办,上方矩阵形式的最后两个矩阵就是我们要的:

我们现在可以用泰勒公式了:

因为

是小量,其高阶可以扔掉,所以在
平面上,曲线的改变近似为
; 在
平面上,曲线的改变近似为
; 在
平面上,曲线的改变近似为
.

这里刚好说到第三个曲线,被称为Neil抛物线,其特点是在尖点(cusp)处连续可导,当然在这里他就不满足函数的定义了。

将他们画在三维坐标系中:

(图来自 UTM Calculus and Analysis in Euclidean Space p402)

这里T是Tangent vector的简写,对应

; N for Normal vector,对应
; B for Binormal vector,对应
.

4.3 环绕数定理

这个是平面曲线的全局性质(Global Theory),之前讲的标架,曲率都是对曲线的局部而言,那么对全局我们可以先考虑,比方说,曲线转了多少圈。 这一章在Klingenberg的书中语言叙述还是挺繁琐的,直观理解就好。

先说下什么是闭曲线: 用好理解的说法,这条曲线具有周期性,且处处都是光滑的(特别是在相同两部分连接的地方)。在傅里叶分析里我们还会见到他,圆上的曲线。 简单就是一一映射的意思。 所以简单闭曲线就是一条光滑周期参数曲线,且在每个周期上,都是一一映射的。

接下来是环绕数的概念: 在平面上一个光滑参数曲线的切向量是会随着曲线的方向转的,取定一个固定的坐标系,把切向量和 x-坐标轴的夹角定义为

,其中 t 为曲线的参数,那么显然这个
除了在

这两个零界点附近都是光滑的。

拿圆举例子,在起始位置,它的切向量和x轴夹角为

,继续逆时针前进,到它的正上方时,夹角为
,快到正下方,却还没到时,夹角接近
,当到了正下方后,与x-轴夹角从新从0算起。 所以我们总可以通过给夹角加一个
的整数倍,使得这个夹角函数
是连续可导的,比方说刚说的例子,本来过了圆周的正下方,夹角重新回到0,我们只要对他加
,使得夹角变成
,变成全局的连续可导函数即可。

环绕数,对光滑参数曲线,定义为在曲线的两个端点

的角度之差再除

比方说对单位圆周

的环绕数,按定义为1;

单位圆周

的环绕数,按定义为2;

单位圆周

的环绕数,按定义为-1.

更进一步,对于分段光滑的参数曲线,定义一个外角(exterior angle),记为

,表示对于一个分段光滑节点
左右两端点角度的差值:即从

的角度差值,规定逆时针为正,顺时针为负,
. 所以对分段光滑参数曲线的环绕数就定义为:

这里的

表示分段光滑区间的端点。

接下来是看起来很显然,但很有用的环绕数定理(Umlaufsatz),这是他的德语名字。

Theorem 4.3.1 假设

是一条分段光滑的,正则的简单闭曲线,则它的环绕数

这里的简单闭曲线其实可以很复杂: 比如简单光滑曲线可以不简单:

再比如简单分段光滑曲线可以相当复杂:

但他们的环绕数不是 1 就是 -1,即绕着走到起点,其实都只绕了一圈。

参考:

[1]W. Klingenberg. A course in differential geometry. Translated from the German by David Hoffman. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 51. Springer-Verlag, 1978.

[2]J. Shurman. Calculus and Analysis in Euclidean Space Undergraduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2016.

[3]厦门大学杨波老师的讲义:http://math.xmu.edu.cn/group/ga/dg_files/surface_notes.pdf

    原文作者:weixin_39826984
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