2020-12-21 数学基础 -- 序列极限(夹逼定理、重要极限、聚点原理)

2021年9月5日 4点热度 0条评论 来源: 小黑班♪(・ω・)ノ

数学基础

数学基础

序列

  1. 定义
    是从N到R的一个函数
    e.g.
    当n在趋于无穷时,xn可以任意接近一个数l

    n→+∞,xn→0
    |xn| =1/n →0,n→+∞

    2条线,1/x在上,1/2x在下,
    已知|xn| =1/n →0,则|xn| ≤1/n →0,n→+∞

    1.1 极限:

    使用ε-N语言描述极限
    {xn},∃l,∀ε>0 ∃ N,∀n > N,|xn - l|<ε
    使用ε-N语言描述发散序列
    {xn},∀l ∃ ε>0 ∀N ∃N,∃n > N,|xn - l|≥ε

    1.2 序列极限的几何意义

当n≤N时,点在邻域中呈发散状
当n>N时,点会落在l-ε、l、l+ε的区间里

1.3 序列极限的性质

	1.3.1	唯一性
	1.3.2	有界性
	1.3.3	保序性
	1.3.4	四则运算
				
	1.3.5	子序列收敛
				an→a(n→∞),则ank(子序列)→(n→∞)
	1.3.6	单调收敛原理
				单调有界的实数序列一定有极限

夹逼定理

1.	定义
	函数A>B,函数B>C,
	函数A的极限是X,函数C的极限也是X ,
	那么函数B的极限就一定是X

e.g.

重要极限

1.1 两个重要极限

1.2 无穷小量

小欧是不断趋向于0的变量

补充:阶乘比指数增长快

1.3 无穷大量

1.4 无穷小量和无穷大量的阶

补充:一组重要的阶
lnn(对数)<na(幂)<an(指数)<a!(阶乘)<nn(次方)

闭区间套定理

聚点原理


R中任何一个有界无穷子集至少有一个聚点(Xo)

博尔扎诺 - 魏尔斯特拉斯定理

1.任何一个有界的序列必然存在收敛的子列
2.并且收敛子列收敛到的值一定是原序列的聚点

思考

1.许多方法提到的公式没有印象,需要花时间补充
    原文作者:小黑班♪(・ω・)ノ
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