旋转矩阵变换的乘积顺序问题—机器人学

2021年9月14日 8点热度 0条评论 来源: 是土豆大叔啊!

旋转矩阵乘积顺序

问题

给定一个初始旋转矩阵 R 1 R_{1} R1,绕向量 r 旋转 θ \theta θ度,即旋转矩阵 R 2 R_{2} R2,最终得到旋转矩阵 R 3 R_{3} R3,那么,该是 R 3 = R 2 R 1 R_{3}=R_{2}R_{1} R3=R2R1 还是 R 3 = R 1 R 2 R_{3}=R_{1}R_{2} R3=R1R2 呢?

旋转矩阵的乘积顺序分两种情况

  • 固定坐标系:每次旋转都根据同一坐标系旋转,左乘单个旋转矩阵. 典型代表:RPY角
  • 非固定坐标系:每次旋转都根据上一次旋转后的坐标系旋转,右乘单个旋转矩阵. 典型代表:ZYZ角

固定坐标系例子

比如,以固定轴的顺序ZYX旋转三次,角度分别为: α 1 = − π 2 \alpha_{1}=-\frac{\pi}{2} α1=2π, α 2 = − π 4 \alpha_{2}=-\frac{\pi}{4} α2=4π, α 3 = π 4 \alpha_{3}=\frac{\pi}{4} α3=4π, 求最终的旋转矩阵.

解答:
R Z ( − π 2 ) = ( 0 1 0 − 1 0 0 0 0 1 ) R_{Z}(-\frac{\pi}{2})=\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) RZ(2π)=010100001
R Y ( − π 4 ) = ( 1 / 2 0 − 1 / 2 0 1 0 1 / 2 0 1 / 2 ) R_{Y}(-\frac{\pi}{4})=\left( \begin{matrix} 1/\sqrt{2} & 0 & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1 & 0 \\ 1/\sqrt{2} & 0 & 1/\sqrt{2} \end{matrix} \right) RY(4π)=1/2 01/2 0101/2 01/2
R X ( π 4 ) = ( 1 0 0 0 1 / 2 − 1 / 2 0 1 / 2 1 / 2 ) R_{X}(\frac{\pi}{4})=\left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 0 & 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{matrix} \right) RX(4π)=10001/2 1/2 01/2 1/2
最终旋转矩阵为:
R = R X R Y R Z = ( 0 1 / 2 − 1 / 2 − 1 / 2 − 0.5 − 0.5 − 1 / 2 0.5 0.5 ) R=R_{X}R_{Y}R_{Z}=\left( \begin{matrix} 0 & 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & -0.5 & -0.5 \\ -1/\sqrt{2} & 0.5 & 0.5 \end{matrix} \right) R=RXRYRZ=01/2 1/2 1/2 0.50.51/2 0.50.5

非固定坐标系例子

如果是绕ZY‘X’‘旋转的话,最终旋转矩阵就是: R = R Z R Y ′ R X ′ ′ R=R_{Z}R_{Y'}R_{X''} R=RZRYRX

    原文作者:是土豆大叔啊!
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