【机器学习|数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数(5):克拉默法则

2021年9月15日 4点热度 0条评论 来源: 海轰Pro

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1.7 克拉默法则

内容

含有n个未知数 x 1 , x 2 , . . . , x n x_1,x_2,...,x_n x1,x2,...,xn的n个线性方程的方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n (1) \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} \tag1 a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn(1)
克拉默法则:如果线性方程组(1)的系数行列式不等于零,即
D = ∣ a 11 . . . a 1 n a 21 . . . a 2 n . . . . a n 1 . . . a n n ∣ ≠ 0 D=\begin{vmatrix} a_{11} &... & a_{1n}\\ a_{21} & ... &a_{2n}\\ . & &. \\ . & & . \\ a_{n1} &... & a_{nn}\\ \end{vmatrix} \neq 0 D=a11a21..an1.........a1na2n..ann=0

那么,方程组(1)就有唯一解

x 1 = D 1 D , x 2 = D 2 D , . . . , x n = D n D x_1=\frac{D_1}{D},x_2=\frac{D_2}{D},...,x_n=\frac{D_n}{D} x1=DD1,x2=DD2,...,xn=DDn

其中, D j ( j = 1 , 2 , . . . , n ) D_j(j=1,2,...,n) Dj(j=1,2,...,n)是把系数行列式 D D D中的第j列元素用方程组右端的常数项替代后得到的n阶行列式,


D j = ∣ a 11 . . a 1 , j − 1 . . b 1 a 1 , j + 1 . . a 1 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 . . a n , j − 1 . . b n a n , j + 1 . . a n n ∣ D_j=\begin{vmatrix} a_{11} &..& a_{1,j-1}&..&b_1&a_{1,j+1}&.. & a_{1n}\\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ . & &. & & . & .& &. \\ a_{n1} &..& a_{n,j-1}&..&b_n&a_{n,j+1}&.. & a_{nn}\\ \end{vmatrix} Dj=a11...an1....a1,j1...an,j1....b1...bna1,j+1...an,j+1....a1n...ann

定理4

如果线性方程组(1)的系数行列式 D ≠ 0 D \neq 0 D=0,那么(1)一定有解,且解是唯一的

定理4的逆否定理

如果线性方程组(1)无解或有2个不同的解,那么它的系数行列式一定为0

非奇次/奇次线性方程组

奇次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases} a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0....................an1x1+an2x2+...+annxn=0

非奇次线性方程组( b 1 , b 2 . . . b n b_1,b_2...b_n b1b2...bn不全为0)
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = b n \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=b_2 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=b_n \\ \end{cases} a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2....................an1x1+an2x2+...+annxn=bn
对于奇次线性方程组
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + . . . + a n n x n = 0 \begin{cases} a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1n}x_n=0 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2n}x_n=0 \\ ....................\\ a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nn}x_n=0 \\ \end{cases} a11x1+a12x2+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+...+a2nxn=0....................an1x1+an2x2+...+annxn=0

x 1 = x 2 = . . . = x n = 0 x_1=x_2=...=x_n=0 x1=x2=...=xn=0一定是它的解,这个解叫做零解。若一组解不全为0,则叫做非零解。
 
奇次线性方程组一定有零解,但不一定有非零解。

定理5

如果奇次线性方程组的系数行列式 D ≠ 0 D \neq0 D=0,则奇次线性方程组没有非零解。

因为 D ≠ 0 D \neq0 D=0,说明解只有一个,而零解又是一定存在的,那么该解就只能是零解了。
如果奇次线性方程组有非零解,那么它的系数行列式 D = 0 D =0 D=0

结语

文章仅作为学习笔记,记录从0到1的一个过程

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    原文作者:海轰Pro
    原文地址: https://blog.csdn.net/weixin_44225182/article/details/120234177
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