分组密码(四)AES算法① — 密码学复习(七)

2021年9月28日 6点热度 0条评论 来源: 不爱学习的Shirley

  介绍完S-PN型结构之后,下面介绍AES算法。由于内容比较多所以将其分为两篇来介绍,本篇主要讲AES的历史时间节点、产生背景、与DES的对比、算法框图(粗略)以及一些数学基础

  7.1 AES的历史时间节点及产生背景

  7.1.1 AES的历史时间节点

  1997年,美国政府(NIST)向社会公开征集高级数据加密标准(AES):

    第一轮:1998年8月20日从应征的21个算法中选出15个算法。

    第二轮:1999年8月又选中其中5个算法。

    第三轮:2000年10月2日再选出1个算法。

  2001年11月26日,NIST接受其为标准。

  7.1.2 AES的产生背景

  ① 1984年12月,里根总统下令由国家安全局(NSA)研制新密码标准,以取代DES.

  ② 1991年新密码开始试用并征求意见。但其有如下特点:

    ·不公开算法,只提供芯片;

    ·新密码设计成双刃剑,它是安全的。但通过法律允许可破译监听

    ·民众要求公开算法,并去掉法律监督。

  ③ 1994年,颁布新密码标准EES.

  ④ 1995年5月,贝尔实验室博士生M.Blaze在PC机上用45分钟攻击法律监督字段获得成功。

  ⑤ 1995年7月,美国政府放弃用EES加密数据。

  ⑥ 1997年,美国政府向社会公开征集AES.

  ⑦ 从DES到AES反映了美国商用密码政策的变化。

    公开征集DES(成功)  ->  秘密设计EES(不成功)  ->  公开征集AES(成功)

  这说明:① 商用密码应当坚持公开设计、公布算法的政策,这是商用密码的客观规律。

       ② 群众的力量是伟大的。

  7.1.3 AES的设计要求

  ① 安全性:可以抵抗目前所有的已知攻击。

  ② 实用性:适应各种应用环境,加解密速度快。

  ③ 扩展性:分组长度和密钥长度可扩展,可以适应社会对保密性不断提高的需求。

 

  7.2 AES与DES的对比

  在讲述具体的算法之前,让我们来看一下AES和DES的对比。

 

 

  7.3 AES算法框图

  接下来让我们看一下AES算法的框图,可以看到AES算法中也有S盒,但要注意这里的S盒和DES算法中的S盒并不一样,具体内容将在后面详细阐述。

 

  7.4 数学基础

  由于AES中涉及到一些计算需要一些简单的数学基础,下面将对其进行简单讲解。

  7.4.1 AES的基础域是有限域GF(28)

  • 一个字节的全体256种取值构成一个GF(28)
  • 一个GF(2)上的8次既约多项式可以生成一个GF(28)
  • GF(28)的全体元素构成加法交换群
  • GF(28)的非零元素构成乘法交换群 (这意味着有生成元)
  • GF(28)中的元素有多种表示:

字节:GF(28)={(a7,a6,a5,...,a1,a0)|ai∈GF(2)}

多项式形式:GF(28)={a7x7+a6x6+a5x5+...+a1x+a0|ai∈GF(2)}

指数形式:GF(28)*={α01,...,α254},α是一个本原元。(去掉零元素是乘法循环群,其余元素都可以用生成元来表示)

对数形式:GF(28)*={0,1,2,...,254}

  • GF(28)的特征为2. 

  7.4.2 AES的GF(28)表示

  AES采用GF(2)上既约多项式m(x)生成GF(28):

m(x)=x8+x4+x3+x+1

  • GF(28)的元素采用GF(2)上的多项式表示:

  字节B=b7b6b5b4b3b2b1b0可表示成GF(2)上的多项式:b7x7+b6x6+b5x5+b4x4+b3x3+b2x2+b1x+b0.

  例:57 = 0101 0111 多项式表示为:x6+x4+x2+x+1.

  • 加法:两个元素多项式的系数按位模2加

  例:57 + 83 = D4

    (x6+x4+x2+x+1)+(x7+x+1) = x7+x6+x4+x2

    而x7+x6+x4+x2对应1101 0100,即D4.

  • 乘法:两个元素多项式相乘,模m(x)

  例:57 × 83 = C1

    (x6+x4+x2+x+1)×(x7+x+1) = x13+x7+x6+x11+x5+x4+x9+x3+x2+x8+x2+x+x7+x+1

                       = x13+x11+x9+x8+x6+x5+x4+x3+1

                       = x7+x6+1    mod x8+x4+x3+x+1

  • 乘法单位元:字节01 多项式表示为:1
  • 乘法逆元

    设a(x)的逆元为b(x),则a(x)b(x)=1 mod m(x)

    可根据Euclid算法可求出b(x).

  • x乘法xtime:用x乘GF(28)的元素

  例:xtime(57) = x (x6+x4+x2+x+1) = x7+x5+x3+x2+x

    xtime(83) = x(x7+x+1)= x8+x2+x mod m(x) = x7+x4+x3+1

  若x7的系数为0,则为简单相乘,系数左移;若x7的系数为1,则乘后取模m(x),即乘后减去x8+x4+x3+x+1.

  • 多项式求逆

  下面通过一个例子来说明多项式求逆的方法:

  在求解后还可以将两者相乘看结果是否mod m(x)与1同余,如果是则所求结果正确。这个写法是参考:手动推导计算AES中的s盒的输出

 

  7.4.3 AES的字表示与运算

  • AES数据处理单位是字节

  一个字 = 4个字节 = 32比特

  一个字可以表示为系数取自GF(28)上的次数低于4次的多项式。

  例:字 57 83 4A D1 -> 57x3+83x2+4Ax+D1

  • 字加法:两多项式系数按位模2加(不进位)

  例:(57x3+83x2+4Ax+D1)+(Ax3+B3x2+EF)=5Dx3+30x2+4Ax+3F.

  • 字乘法:设a和c是两个字,a(x)和c(x)是其字多项式。AES定义a和c的乘积b为

b(x) = a(x)c(x)   mod x4+1

  设:a(x)=a3x3+a2x2+a1x+a0

    c(x)=c3x3+c2x2+c1x+c0

    b(x)=b3x3+b2x2+b1x+b0

  则 b(x) = a(x)c(x) mod x4+1为:

    b= a0c0+a3c1+a2c2+a1c3

    b= a1c0+a0c1+a3c2+a2c3

    b= a2c0+a1c1+a0c2+a3c3

    b= a3c0+a2c1+a1c2+a0c3

  写成矩阵的形式:

  注意:①x4+1是可约多项式,字c(x)不一定有逆。

      ②但AES选择的c(x)有逆,c(x)=03x3+01x2+01x+02.(0多1少,速度快)

      ③c(x)有逆的条件是(x4+1,c(x))=1

  • 字的x乘法:设b(x)是一个字,p(x)=xb(x) mod x4+1

  写成矩阵的形式:

  注意:因为模x4+1,字的x乘法相当于按字节循环移位。

  7.4.4 AES的数据处理方式

  AES的数据处理方式有:按字节处理按字处理按状态处理

  状态:

  • 加解密过程中的中间数据
  • 以字节为元素的矩阵或二维数组
  • 符号:Nb——明密文所含的字数;Nk——密钥所含的字数;Nr——迭代轮数。

参考博客:

[1] 手动推导计算AES中的s盒的输出

    原文作者:不爱学习的Shirley
    原文地址: https://www.cnblogs.com/shirleyya/p/15343803.html
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