Python小白的数学建模课-10.微分方程边值问题

2021年7月23日 2点热度 0条评论 来源: youcans

小白往往听到微分方程就觉得害怕,其实数学建模中的微分方程模型不仅没那么复杂,而且很容易写出高水平的数模论文。

本文介绍微分方程模型边值问题的建模与求解,不涉及算法推导和编程,只探讨如何使用 Python 的工具包,零基础求解微分方程模型边值问题。

通过 3个 BVP 案例层层深入,手把手教你搞定微分方程边值问题。

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1. 常微分方程的边值问题(BVP)

1.1 基本概念

微分方程是指含有未知函数及其导数的关系式。

微分方程是描述系统的状态随时间和空间演化的数学工具。物理中许多涉及变力的运动学、动力学问题,如空气的阻力为速度函数的落体运动等问题,很多可以用微分方程求解。微分方程在化学、工程学、经济学和人口统计等领域也有广泛应用。

微分方程分为初值问题和边值问题。初值问题是已知微分方程的初始条件,即自变量为零时的函数值,一般可以用欧拉法、龙哥库塔法来求解。边值问题则是已知微分方程的边界条件,即自变量在边界点时的函数值。

边值问题的提出和发展,与流体力学、材料力学、波动力学以及核物理学等密切相关,并且在现代控制理论等学科中有重要应用。例如,力学问题中的悬链线问题、弹簧振动问题,热学问题中的导热细杆问题、细杆端点冷却问题,流体力学问题、结构强度问题。

上节我们介绍的常微分方程,主要是微分方程的初值问题。本节介绍二阶常微分方程边值问题的建模与求解。

1.2 常微分方程边值问题的数学模型

只含边界条件作为定解条件的常微分方程求解问题,称为常微分方程的边值问题(boundary value problem)。

一般形式的二阶常微分方程边值问题:

\[y{\ ''} = f(x,y,y{\ '}),\; a<x<b \]

有三种情况的边界条件:

(1)第一类边界条件(两点边值问题):

\[y(a)=ya,y(b)=yb \]

(2)第二类边界条件:

\[y\ '(a)=ya,y\ '(b)=yb \]

(3)第三类边界条件:

\[\begin{cases} y\ '(a)-a_0\ y(a) = a_1\\ y\ '(b)-b_0\ y(b) = b_1 \end{cases} \]

其中:\(a_0 \geq 0,b_0 \geq 0,a_0+b_0>0\)

1.3 常微分方程边值问题的数值解法

简单介绍求解常微分方程边值问题的数值解法,常用方法有:打靶算法、有限差分法和有限元法。打靶算法把边值问题转化为初值问题求解,是根据边界条件反复迭代调整初始点的斜率,使初值问题的数值解在边界上“命中”问题的边值条件。有限差分法把空间离散为网格节点,用差商代替微商,将微分方程离散化为线性或非线性方程组来求解。 有限元法将微分方程离散化,有限元就是指近似连续域的离散单元,对每一单元假定一个近似解,然后推导求解域满足条件,从而得到问题的解。

按照本系列“编程方案”的概念,不涉及这些算法的具体内容,只探讨如何使用 Python 的工具包、库函数,零基础求解微分方程模型边值问题。我们的选择还是 Python 常用工具包三剑客:Scipy、Numpy 和 Matplotlib。

2. SciPy 求解常微分方程边值问题

2.1 BVP 问题的标准形式

Scipy 用 solve_bvp() 函数求解常微分方程的边值问题,定义微分方程的标准形式为:

\[\begin{cases} y{\ '} = f(x,y),\; a<x<b\\ g(y(a),y(b)=0) \end{cases} \]

因此要将第一类边界条件 \(y(a)=ya,y(b)=yb\) 改写为:

\[\begin{cases} y(a)-ya=0\\ y(b)-yb=0 \end{cases} \]

2.2 scipy.integrate.solve_bvp() 函数

**scipy.integrate.solve_bvp() **是求解微分方程边值问题的具体方法,可以求解一阶微分方程(组)的两点边值问题(第一类边界条件)。在 odeint 函数内部使用 FORTRAN 库 odepack 中的 lsoda,可以求解一阶刚性系统和非刚性系统的初值问题。官网介绍详见: scipy.integrate.solve_bvp — SciPy v1.7.0 Manual

scipy.integrate.solve_bvp(fun, bc, x, y, p=None, S=None, fun_jac=None, bc_jac=None, tol=0.001, max_nodes=1000, verbose=0, bc_tol=None)

solve_bvp 的主要参数:

求解标准形式的微分方程(组)主要使用前 4 个参数:

  • func: callable fun(x, y, ..)   导数函数 \(f(y,x)\) , y 在 x 处的导数,以函数的形式表示。可以带有参数 p。
  • bc: callable bc(ya, yb, ..)   边界条件,y 在两点边界的函数,以函数的形式表示。可以带有参数 p。
  • x: array:  初始网格的序列,shape (m,)。必须是单调递增的实数序列,起止于两点边界值 xa,xb。
  • y: array:  网格节点处函数值的初值,shape (n,m),第 i 列对应于 x[i]。
  • p: array:  可选项,向导数函数 func、边界条件函数 bc 传递参数。

其它参数用于控制求解算法的参数,一般情况可以忽略。

solve_bvp 的主要返回值:

  • sol: PPoly   通过 PPoly (如三次连续样条函数)插值求出网格节点处的 y 值。
  • x: array   数组,形状为 (m,),最终输出的网格节点。
  • y: array   二维数组,形状为 (n,m),输出的网格节点处的 y 值。
  • yp: array   二维数组,形状为 (n,m),输出的网格节点处的 y' 值。

3. 实例 1:一阶常微分方程边值问题

3.1 例题 1:一阶常微分方程边值问题

求常微分方程边值问题的数值解。

\[\begin{cases} \begin{aligned} &y\ ''+ \left| y \right| = 0\\ &y(x=0) = 0.5\\ &y(x=4) = -1.5 \end{aligned} \end{cases} \]

引入变量 \(y0 = y,y1 = y\ '\),通过变量替换就把原方程化为如下的标准形式的微分方程组:

\[\begin{cases} y_0^{'} = y_1\\ y_1^{'} = -\left| y_0 \right| \\ y(x=0) - 0.5 = 0\\ y(x=4) + 1.5 = 0 \end{cases} \]

这样就可以用 solve_bvp() 求解该常微分方程的边值问题。

3.2 常微分方程的编程步骤

以该题为例讲解scipy.integrate.solve_bvp 求解常微分方程边值问题的步骤:

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;

  2. 定义导数函数 dydx(x,y)

    注意本问题中 y 表示向量,记为 \(y=[y_0,y_1]\),导数定义函数 dydx(x,y) 编程如下:

# 导数函数,计算导数 dY/dx
def dydx(x, y):
    dy0 = y[1]
    dy1 = -abs(y[0])
    return np.vstack((dy0, dy1))
  1. 定义边界条件函数 boundCond(ya,yb)

    本问题中边界条件为常数,具体编程如下。注意对照 3.1中的边值条件,没有为什么,函数就是这么定义的。

# 计算 边界条件
def boundCond(ya, yb):
    fa = 0.5  # 边界条件 y(xa=0) = 0.5
    fb = -1.5  # 边界条件 y(xb=4) = -1.5
    return np.array([ya[0]-fa,yb[0]-fb])   
  1. 设置 x、y 的初值

  2. 调用 solve_bvp() 求解常微分方程在区间 [xa,xb] 的数值解

  3. 由 solve_bvp() 的返回值 sol,获得网格节点的处的 y值。

3.3 Python 例程

# mathmodel11_v1.py
# Demo10 of mathematical modeling algorithm
# Solving ordinary differential equations (boundary value problem) with scipy.

from scipy.integrate import odeint, solve_bvp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 1. 求解微分方程组边值问题,DEMO
# y'' + abs(y) = 0, y(0)=0.5, y(4)=-1.5

# 导数函数,计算导数 dY/dx
def dydx(x, y):
    dy0 = y[1]
    dy1 = -abs(y[0])
    return np.vstack((dy0, dy1))

# 计算 边界条件
def boundCond(ya, yb):
    fa = 0.5  # 边界条件 y(xa=0) = 0.5
    fb = -1.5  # 边界条件 y(xb=4) = -1.5
    return np.array([ya[0]-fa,yb[0]-fb])

xa, xb = 0, 4  # 边界点 (xa,xb)
# fa, fb = 0.5, -1.5  # 边界点的 y值
xini = np.linspace(xa, xb, 11)  # 确定 x 的初值
yini = np.zeros((2, xini.size))  # 确定 y 的初值
res = solve_bvp(dydx, boundCond, xini, yini)  # 求解 BVP

xSol = np.linspace(xa, xb, 100)  # 输出的网格节点
ySol = res.sol(xSol)[0]  # 网格节点处的 y 值

plt.plot(xSol, ySol, label='y')
# plt.legend()
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")
plt.title("scipy.integrate.solve_bvp")
plt.show()

3.4 Python 例程运行结果

4. 实例 2:水滴横截面的形状

4.1 例题 2:水滴横截面形状问题

水平面上的水滴横截面形状,可以用如下的微分方程描述:

\[\begin{cases} \begin{aligned} &\frac{d^2 h}{dx^2} + [1-h]*[1+(\frac{dh}{dx})^2]^{3/2}= 0\\ &h(x=-1) = h(x=1) = 0 \end{aligned} \end{cases} \]

引入变量 \(h0 = h,h1 = h\ '\),通过变量替换就把原方程化为如下的标准形式的微分方程组:

\[\begin{cases} h_0^{'} = h_1\\ h_1^{'} = (h_0-1) * [1+h_1^2]^{3/2}\\ h_0(x=-1) = h_0(x=1) = 0 \end{cases} \]

这样就可以用 solve_bvp() 求解该常微分方程的边值问题。

注:本问题来自 司守奎 等,数学建模算法与应用(第2版),国防工业出版社,2015

4.2 Python 例程:水滴横截面形状问题

# mathmodel11_v1.py
# Demo10 of mathematical modeling algorithm
# Solving ordinary differential equations (boundary value problem) with scipy.

from scipy.integrate import odeint, solve_bvp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 3. 求解微分方程边值问题,水滴的横截面
# 导数函数,计算 h=[h0,h1] 点的导数 dh/dx
def dhdx(x,h):
    # 计算 dh0/dx, dh1/dx 的值
    dh0 = h[1]  # 计算 dh0/dx
    dh1 = (h[0]-1)*(1+h[1]*h[1])**1.5  # 计算 dh1/dx
    return np.vstack((dh0, dh1))

# 计算 边界条件
def boundCond(ha,hb):
    # ha = 0  # 边界条件:h0(x=-1) = 0
    # hb = 0  # 边界条件:h0(x=1) = 0
    return np.array([ha[0],hb[0]])

xa, xb = -1, 1  # 边界点 (xa=0, xb=1)
xini = np.linspace(xa, xb, 11)  # 设置 x 的初值
hini = np.zeros((2, xini.size))  # 设置 h 的初值

res = solve_bvp(dhdx, boundCond, xini, hini)   # 求解 BVP
# scipy.integrate.solve_bvp(fun, bc, x, y,..)
#   fun(x, y, ..), 导数函数 f(y,x),y在 x 处的导数。
#   bc(ya, yb, ..), 边界条件,y 在两点边界的函数。
#   x: shape (m),初始网格的序列,起止于两点边界值 xa,xb。
#   y: shape (n,m),网格节点处函数值的初值,第 i 列对应于 x[i]。

xSol = np.linspace(xa, xb, 100)  # 输出的网格节点
hSol = res.sol(xSol)[0]  # 网格节点处的 h 值
plt.plot(xSol, hSol, label='h(x)')
plt.xlabel("x")
plt.ylabel("h(x)")
plt.axis([-1, 1, 0, 1])
plt.title("Cross section of water drop by BVP xupt")
plt.show()

4.3 Python 例程运行结果

5. 实例 3:带有未知参数的微分方程边值问题

5.1 例题 3:Mathieu 方程的特征函数

Mathieu 在研究椭圆形膜的边界值问题时,导出了一个二阶常微分方程,其形式为:

\[\frac{d^2 y}{dx^2} + [\lambda-2q\ cos(2x)]\ y= 0 \]

用这种形式的数学方程可以描述自然中的物理现象,包括振动椭圆鼓、四极质谱仪和四极离子阱、周期介质中的波动、强制振荡器参数共振现象、广义相对论中的平面波解决方案、量子摆哈密顿函数的本征函数、旋转电偶极子的斯塔克效应。

式中 \(\lambda、q\) 是两个实参数,方程的系数是以 \(\pi\)\(2\pi\) 为周期的,但只有在 \(\lambda、q\) 满足一定关系时 Mathieu 方程才有周期解。

引入变量 \(y0 = y,y1 = y\ '\),通过变量替换就把原方程化为如下的标准形式的微分方程组:

\[\begin{cases} y_0^{'} = y_1\\ y_1^{'} = -[\lambda-2q\ cos(2x)]\ y_0 \\ y_0(x=0) = 1\\ y_1(x=0) = 0\\ y_1(x=\pi)=0 \end{cases} \]

这样就可以用 solve_bvp() 求解该常微分方程的边值问题。

5.2 常微分方程的编程步骤

以该题为例讲解scipy.integrate.solve_bvp 求解常微分方程边值问题的步骤。

需要注意的是:(1)本案例涉及一个待定参数 \(\lambda\) 需要通过 solve_bvp(fun, bc, x, y, p=None) 中的可选项 p 传递到导数函数和边界条件函数,(2)本案例涉及 3 个边界条件,要注意边界条件函数的定义。

  1. 导入 scipy、numpy、matplotlib 包;

  2. 定义导数函数 dydx(x,y,p)

    本问题中 y 表示向量,记为 \(y=[y_0,y_1]\),定义函数 dydx(x,y,p) 中的 p 是待定参数。

# 导数函数,计算导数 dY/dx
def dydx(x, y, p): # p 是待定参数
    lam = p[0]  # 待定参数,从 solve-bvp() 传递过来
    q = 10  # 设置参数
    dy0 = y[1]
    dy1 = -(lam-2*q*np.cos(2*x))*y[0]
    return np.vstack((dy0, dy1))
  1. 定义边界条件函数 boundCond(ya,yb,p)

    注意,虽然边界条件定义函数并没有用到参数 p,但也必须写在输入变量中,函数就是这么要求的。

# 计算 边界条件
def boundCond(ya, yb, p):
    lam = p[0]
    return np.array([ya[0]-1,ya[0],yb[0]])
  1. 设置 x、y 的初值

  2. 调用 solve_bvp() 求解常微分方程在区间 [xa,xb] 的数值解

  3. 由 solve_bvp() 的返回值 sol,获得网格节点的处的 y值。

5.3 Python 例程

# mathmodel11_v1.py
# Demo10 of mathematical modeling algorithm
# Solving ordinary differential equations (boundary value problem) with scipy.

from scipy.integrate import odeint, solve_bvp
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# 4. 求解微分方程组边值问题,Mathieu 方程
# y0' = y1, y1' = -(lam-2*q*cos(2x))y0)
# y0(0)=1, y1(0)=0, y1(pi)=0

# 导数函数,计算导数 dY/dx
def dydx(x, y, p): # p 是待定参数
    lam = p[0]
    q = 10
    dy0 = y[1]
    dy1 = -(lam-2*q*np.cos(2*x))*y[0]
    return np.vstack((dy0, dy1))

# 计算 边界条件
def boundCond(ya, yb, p):
    lam = p[0]
    return np.array([ya[0]-1,ya[0],yb[0]])

xa, xb = 0, np.pi  # 边界点 (xa,xb)
xini = np.linspace(xa, xb, 11)  # 确定 x 的初值
xSol = np.linspace(xa, xb, 100)  # 输出的网格节点

for k in range(5):
    A = 0.75*k
    y0ini = np.cos(8*xini)  # 设置 y0 的初值
    y1ini = -A*np.sin(8*xini)  # 设置 y1 的初值
    yini = np.vstack((y0ini, y1ini))  # 确定 y=[y0,y1] 的初值
    res = solve_bvp(dydx, boundCond, xini, yini, p=[10])  # 求解 BVP
    y0 = res.sol(xSol)[0]  # 网格节点处的 y 值
    y1 = res.sol(xSol)[1]  # 网格节点处的 y 值
    plt.plot(xSol, y0, '--')
    plt.plot(xSol, y1,'-',label='A = {:.2f}'.format(A))

plt.xlabel("xupt")
plt.ylabel("y")
plt.title("Characteristic function of Mathieu equation")
plt.axis([0, np.pi, -5, 5])
plt.legend(loc='best')
plt.text(2,-4,"youcans-xupt",color='whitesmoke')
plt.show()

5.4 Python 例程运行结果

初值 A从 0~3.0 变化时,y-x 曲线(图中虚线)几乎不变,但 y'-x 的振幅增大;当 A 再稍微增大,系统就进入不稳定区, y-x 曲线振荡发散(图中未表示)。

关于 Mathieu 方程解的稳定性的讨论,已经不是数学建模课的内容,不再讨论。

6. 小结

  1. 微分方程的边值问题相对初值问题来说更为复杂,但是用 Scipy 工具包求解标准形式的微分方程边值问题,编程实现还是不难掌握的。
  2. 关于边值问题的模型稳定性、灵敏度的分析,是更为专业的问题。除非找到专业课程教材或范文中有相关内容可以参考套用,否则不建议小白自己摸索,这些问题不是调整参数试试就能试出来的。

【本节完】

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    原文作者:youcans
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