图的存储与遍历C++实现

2021年7月7日 2点热度 0条评论 来源: Smartog

1、图的存储

  • 设点数为n,边数为m

1.1、二维数组

  • 方法:使用一个二维数组 adj 来存边,其中 adj[u][v] 为 1 表示存在 u到 v的边,为 0 表示不存在。如果是带边权的图,可以在 adj[u][v] 中存储u到v的边的边权。
  • 复杂度:
    • 查询是否存在某条边:\(O(1)\)
    • 遍历一个点的所有出边:\(O(n)\)
    • 遍历整张图:\(O(n^2)\)
    • 空间复杂度:\(O(n^2)\)

1.2、邻接表

  • 方法:使用一个支持动态增加元素的数据结构构成的数组,如 vector< int> adj[n + 1] 来存边,其中 adj[u] 存储的是点u的所有出边的相关信息(终点、边权等);

  • 复杂度:

    • 查询是否存在u到v的边:\(O(d^+(u))\)(如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到\(O(log(d^+(u)))\) )。
    • 遍历点u的所有出边:\(O(d^+(u))\)
    • 遍历整张图:O(n+m)。
    • 空间复杂度:O(m)。

1.3、直接存边

  • 方法:使用一个数组来存边,数组中的每个元素都包含一条边的起点与终点(带边权的图还包含边权)。(或者使用多个数组分别存起点,终点和边权。)
    struct Edge{
    	int u,v;//边的端点
    	int w;//权重
    }Edges[MAXN];
    
  • 复杂度:
    • 查询是否存在某条边:\(O(m)\)
    • 遍历一个点的所有出边:\(O(m)\)
    • 遍历整张图:\(O(nm)\)
    • 空间复杂度:\(O(m)\)
  • 由于直接存边的遍历效率低下,一般不用于遍历图。在Kruskal算法 中,由于需要将边按边权排序,需要直接存边

1.4、链式前向星(本质是用数组模拟链表)

  • 方法:本质是用数组模拟链表,主要有两个数组

    Edges[MAXN] 存储边的信息,包括两个端点、权重、下一条边在Edges中的索引;
    head[MAXN] head[i]为节点i的第一条出边在Edges中的序号;
    在插入边的时候维护一个tot变量记录总计的边的个数
    
  • 复杂度:

    • 查询是否存在u到v的边:\(O(d^+(u))\)(如果事先进行了排序就可以使用二分查找做到\(O(log(d^+(u)))\) )。
    • 遍历点u的所有出边:\(O(d^+(u))\)
    • 遍历整张图:O(n+m)。
    • 空间复杂度:O(m)。
  • 代码板子:

    #include<bits/stdc++.h>
    using namespace std;
    const int MAXN = 1e6;
    struct Edge
    {//边结构体
    	int u,v;//边的端点;
    	int w;//权重
    	int nxt;//下一条边在Edge中的索引
    }Edges[MAXN];
    int head[MAXN];//每个节点出边
    int tot;//总的边数,随着边的增加而增加
    
    void init(int n){
    	tot=0;
    	//初始化head数组
    	for(int i=0; i<n; i++)
    		head[i]=-1;
    	//memset(head,-1,sizeof(head));
    	//memset是以字节为单位,初始化内存块
    	//字节单位的数组时,可以用memset把每个数组单元初始化成任何你想要的值
    	//因为一个int类型的变量占4个字节,而memset是将每一个字节初始化成1,
    	//所以一个int类型的变量被初始化成了0x01010101。而这个数是16843009
    	//memset初始化int只能初始化0和-1;  
    }
    
    void addEdge(int u,int v,int w){
    	Edges[tot].u=u;
    	Edges[tot].v=v;
    	Edges[tot].w=w;
    	Edges[tot].nxt=head[u];
    	head[u] = tot;
    	tot++;
    }
    

2、图的遍历

2.2、dfs(深度优先 depth first search)

  • 基于上述的链式前向星实现
    void dfs(int u) {
      //v 可以是图中的一个顶点
      //也可以是抽象的概念,如 dp 状态等,这一点很难想
      vis[u] = 1; //标记该节点被访问过
      for (int i = head[u]; i; i = Edges[i].nxt) {
        if (!vis[Edges[i].v]) {
        //task to do
        dfs(v);
        }
      }
    }
    

2.3、bfs(宽度优先 breadth first search)

  • 每次都尝试访问同一层的节点。 如果同一层都访问完了,再访问下一层。这样做BFS 算法找到的路径是从起点开始的最短合法路径。换言之,这条路所包含的边数最小。在 BFS 结束时,每个节点都是通过从起点到该点的最短路径访问的。
  • 基于上述的链式前向星实现:
    void bfs(int u){
    	vector<int> d;//记录到达各个节点的最近距离;
    	vector<int> p;//记录最短路上的节点
    	vector<int> vis(MAXN,0);//0代表节点未被访问过
    	queue<int> q;
    	q.push(u);
    	vis[u]=1;//标记访问
    	d[u]=0;
    	p[u]=-1;
    	while(!q.empty()){
    		u=q.front();
    		q.pop();
    		for(int i=head[u]; i; i=Edges[i].nxt){
    		  int v = Edges[i].v;//到达的点
    		  if(!vis[v]){
    		      q.push(v);
    		      vis[v]=1;
    		      d[v]=d[u]+1;
    		      p[v]=u;//记录前序节点
    		      //task to do
    		  }
    		}
    	}
    }
    

    原文作者:Smartog
    原文地址: https://www.cnblogs.com/Smartog/p/14978554.html
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