【离散数学】1.2特殊集合与集合间关系

2021年6月25日 2点热度 0条评论 来源: centralunit

空集

定义

不含任何元素的集合叫做空集(empty set),记作
空集可以符号化为 ={ x|xx}

举例

  • A={ x|xR,x2<0} ,则 A=
  • ||=0,|{ }|=1

空集是绝对唯一的

全集

定义

针对一个具体范围,我们考虑的所有对象的集合叫做全集(universal set),记作 或E
在文氏图一般使用方形表示全集。

举例

  • 在立体几何中,全集是由空间的全体点组成的;
  • 在我国的人口普查中,全集是由我国所有人组成的。

全集是相对唯一的

集合的相等关系

元素的基本特性

  • 集合中的元素是无序的。 { 1,2,3,4} { 2,3,1,4} 相同。
  • 集合中的元素是不同的。 { 1,2,2,3,4,3,4,2} { 1,2,3,4} 相同。

举例

E={ x|(x1)(x2)(x3)=0,xR},F={ x|xZ+,x2<12} ,可见E和F具有相同的元素 { 1,2,3} ,此时称两个集合相等

外延性原理

两个集合A和B相等,当且仅当它们的元素完全相同,记为A=B,否则A和B不相等,记为A≠B

子集和真子集

举例

设A={BASIC, PASCAL, ADA},B={ADA, PASCAL},此时A中含有B中所有的元素,这种情况称为A包含B

定义

设A, B是任意两个集合,

  • 如果B的每个元素都是A中的元素,则称B是A的子集,也称作B被A包含A包含B,记作B A
  • 如果B A并且A≠B,则称B是A的真子集,也称作B被A真包含A真包含B,记作B A,否则记作B ⊄ A

”关系的数学语言描述为:B A x ,如果 xB ,则 xA

文氏图

由子集定义可有

  1. A
  2. AA

举例

已知A={1, 2, 3, 4}, B={1, 2, 4}, C={2, 3}, D={3 ,2},可见

  1. AA , BA , CA , DA
  2. CD , DC ,同时,C=D

证明集合相等

设A, B为任意两个集合,则A=B A B并且B A

上面的定理非常重要,这是证明集合相等的一种非常有效的方式。

证明框架

证明:

  1. 首先证明A B: xA,,xBAB
  2. 其次证明B A: xB,,xABA

由以上两点,可知A=B。

n元集的子集

举例

设A={a, b, c},求出A的所有子集。
解:由于|A|=3,因而 A 的子集可能包含的元素个数m=0, 1, 2, 3

  • m=0,即没有任何元素,也就是空集∅
  • m=1,从A中任取1个元素,则有 C13=3 个:{a}, {b}, {c}
  • m=2,从A中任取2个元素,则有 C23=3 个:{a, b}, {b, c}, {a, c}
  • m=3,从A中任取3个元素,则有 C33=1 个:{a, b, c}

以上8个集合就是A的所有子集。

推广:对于任意n元集合A,它的m元(0⩽m⩽n)子集个数为 Cmn 个,所以不同的子集个数为: C0n+C1n++Cnn=(1+1)n=2n

幂集

定义

设A为任意集合,把A的所有不同子集构成的集合叫做A的幂集(power set),记作P(A),即

P(A)={ x|xA}

由此可得

xP(A)xA

举例

设A={a, b, c},B={a, {b, c}},求他们的幂集P(A)和P(B)。
解:P(A)={∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {b, c}, {a, c}, {a, b, c}}
P(B)={∅, {a}, { {b, c}}, {a, {b, c}}}

说明

幂集也叫做集族集合的集合,对集族的研究在数学方面、知识库和表处理语言以及人工智能等方面都有十分重要的意义。

    原文作者:centralunit
    原文地址: https://blog.csdn.net/centralunit/article/details/78665497
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