微分方程——线性微分方程

2021年6月21日 8点热度 0条评论 来源: ckk666

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一、线性微分方程

1、一阶线性微分方程

定义

对于形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程,若Q(x)=0,则为一阶齐次线性微分方程;若Q(x) ≠ \ne = 0,则为一阶非齐次线性微分方程。

求解——常系数变易法

先求出齐次方程 d y d x + P ( x ) y = 0 \frac{dy}{dx}+P(x)y=0 dxdy+P(x)y=0的通解 y = C e − ∫ P ( x ) d x y=C e^{- \int P(x)dx} y=CeP(x)dx再另C = u (x) ,则有 y = u e − ∫ P ( x ) d x y=u e^{- \int P(x)dx} y=ueP(x)dx,对两边求导,得到 d y d x = u ′ e − ∫ P ( x ) d x − u P ( x ) e − ∫ P ( x ) d x \frac{dy}{dx} = u^{'} e^{- \int P(x)dx} - uP(x)e^{- \int P(x)dx} dxdy=ueP(x)dxuP(x)eP(x)dx再带入到原非齐次微分方程中可得 u ′ = Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x u^{'} = Q(x)e^{ \int P(x)dx} u=Q(x)eP(x)dx两端积分得 u = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C u = \int Q(x) e^{ \int P(x)dx} dx +C u=Q(x)eP(x)dxdx+C故而该非齐次微分方程的通解为 y = ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C e − ∫ P ( x ) d x y = \lgroup \int Q(x) e^{ \int P(x)dx} dx +C \rgroup e^{- \int P(x)dx} y=Q(x)eP(x)dxdx+CeP(x)dx

2、伯努利方程 ⋆ ⋆ ⋆ \star\star\star

定义

对于形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) y n ( n ≠ 0 , 1 ) \frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^{n} (n\ne0,1) dxdy+P(x)y=Q(x)yn(n=0,1)的方程,我们称之为伯努利方程。当n=0或1时,这是线性微分方程。

求解

我们可做变换  z = y n − 1 z = y^{n-1} z=yn1 ,使得原始变为 d z d x + ( 1 − n ) P ( x ) z = ( 1 − n ) Q ( x ) \frac{dz}{dx}+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x) dxdz+(1n)P(x)z=(1n)Q(x)这就转变成了一个一阶线性微分方程,利用常系数变易法求得通解,最后将  y 1 − n y^{1-n} y1n代入到 z 中,可得伯努利方程的通解。

3、可降阶的线性微分方程

(1) y n = f ( x ) y^{n} = f(x) yn=f(x)

求解步骤:对两端不断积分,直到左边为 y y y

(2) y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y^{''} = f(x,y^{'}) y=f(x,y)

求解步骤:设 y ′ = p y^{'}=p y=p,则 y ′ ′ = p ′ y^{''}=p^{'} y=p,原方程变为 p ′ = f ( x , p ) p^{'}=f(x,p) p=f(x,p)这是一个关于 p 和 x 的一阶微分方程,设其通解为 p = φ ( x , C 1 ) p=\varphi(x,C^{1}) p=φ(x,C1)则有 d y d x = p = φ ( x , C 1 ) \frac{dy}{dx}=p=\varphi(x,C^{1}) dxdy=p=φ(x,C1)容易求得原方程的通解为 y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 y=\int\varphi(x,C^{1})dx +C^{2} y=φ(x,C1)dx+C2
例如:求 ( 1 + x 2 ) y ′ ′ = 2 x y ′ (1+x^{2})y^{''}=2xy^{'} (1+x2)y=2xy的通解。
解:设 y ′ = p y^{'}=p y=p,则 y ′ ′ = p ′ y^{''}=p^{'} y=p,原方程变为 ( 1 + x 2 ) p ′ = 2 x p (1+x^{2})p^{'}=2xp (1+x2)p=2xp分离变量得 d p p = d ( 1 + x 2 ) 1 + x 2 \frac{dp}{p}=\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}} pdp=1+x2d(1+x2)两端积分得 l n ∣ p ∣ = l n ( 1 + x 2 ) + C 1 ln|p|=ln(1+x^{2})+C^{1} lnp=ln(1+x2)+C1化简得 d y d x = p = C 1 ( 1 + x 2 ) \frac{dy}{dx}=p=C^{1}(1+x^{2}) dxdy=p=C1(1+x2)再分离变量,对两端积分得到通解为 y = C 1 x + C 2 x 3 + C 3 y=C^{1}x+C^{2}x^{3}+C^{3} y=C1x+C2x3+C3

(3) y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y^{''}=f(y,y^{'}) y=f(y,y)

求解步骤:设 y ′ = p y^{'}=p y=p,则 y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y y^{''}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} y=dxdp=dydpdxdy=pdydp,原方程变为 p d p d y = f ( y , p ) p\frac{dp}{dy}=f(y,p) pdydp=f(y,p)这是一个关于 p 和 x 的一阶微分方程,设其通解为 y ′ = p = φ ( y , C 1 ) y^{'}=p=\varphi(y,C^{1}) y=p=φ(y,C1)再分离变量,两端积分,可以求得通解为 ∫ 1 φ ( y , C 1 ) d x = x + C 2 \int\frac{1}{\varphi(y,C^{1})}dx=x+C^{2} φ(y,C1)1dx=x+C2

例如:求 y y ′ ′ − ( y ′ ) 2 = 0 yy^{''}-(y^{'})^{2}=0 yy(y)2=0的通解。
解:设 y ′ = p y^{'}=p y=p,则 y ′ ′ = d p d x = d p d y d y d x = p d p d y y^{''}=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\frac{dy}{dx}=p\frac{dp}{dy} y=dxdp=dydpdxdy=pdydp,原方程变为 p y d p d y − p 2 = 0 py\frac{dp}{dy}-p^{2}=0 pydydpp2=0 p ≠ 0 , y ≠ 0 p\ne0,y\ne0 p=0,y=0的情况下分离变量得 d p p = d y y \frac{dp}{p}=\frac{dy}{y} pdp=ydy两端积分得 d y d x = p = C 1 y \frac{dy}{dx}=p=C^{1}y dxdy=p=C1y
易得方程的通解为 y = C 2 e C 1 x y=C^{2}e^{C^{1}x} y=C2eC1x

4、高阶微分方程(二阶)

对于二阶齐次线性方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = 0 y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=0 y+P(x)y+Q(x)y=0 y 1 , y 2 y^{1},y^{2} y1,y2是该方程的两个线性无关的特解,则该方程的通解为 Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C^{1}y^{1}+C^{2}y^{2} Y=C1y1+C2y2
对于二阶非齐次线性方程 y ′ ′ + P ( x ) y ′ + Q ( x ) y = f ( x ) y^{''}+P(x)y^{'}+Q(x)y=f(x) y+P(x)y+Q(x)y=f(x) Y = C 1 y 1 + C 2 y 2 Y=C^{1}y_{1}+C^{2}y_{2} Y=C1y1+C2y2是其对应 的齐次线性方程的通解,那么该非齐次线性方程的通解为 y = C 1 y 1 + C 2 y 2 − y 1 ∫ y 2 f W d x + y 2 ∫ y 1 f W d x y=C^{1}y_{1}+C^{2}y_{2}-y_{1}\int\frac{y_{2}f}{W}dx+y_{2}\int\frac{y_{1}f}{W}dx y=C1y1+C2y2y1Wy2fdx+y2Wy1fdx y = v 1 y 1 + v 2 y 2 y=v_{1}y_{1}+v_{2}y_{2} y=v1y1+v2y2其中 W = y 1 y 2 ′ − y 1 ′ y 2 W= y_{1}y^{'}_{2}-y^{'}_{1} y^{2} W=y1y2y1y2 v 1 = C 1 + ∫ ( − y 2 f W ) d x , v 2 = ∫ y 1 f W d x v_{1}=C_{1}+\int(-\frac{y_{2}f}{W})dx,v_{2}=\int\frac{y_{1}f}{W}dx v1=C1+(Wy2f)dx,v2=Wy1fdx

二、两大特例

1.可分离变量的微分方程

定义

一般地,如果一个一阶微分方程可以化成 P ( y ) d y = Q ( x ) d x P(y)dy = Q(x)dx P(y)dy=Q(x)dx那么我们称原方程为可分离变量的微分方程。

求解

对于这种方程,我们一般采取两端同时积分的方法。

例如:求微分方程 d y d x = 2 x y \frac{dy}{dx}=2xy dxdy=2xy的通解。
解:分离变量可得 d y y = 2 x d x \frac{dy}{y}=2xdx ydy=2xdx两端同时积分可得 l n ∣ y ∣ = x 2 + C 1 ln|y|=x^{2}+C_{1} lny=x2+C1化简得到通解 y = C e x 2 y=Ce^{x^{2}} y=Cex2

2.齐次微分方程

定义

如果一阶微分方程可以化成 d y d x = φ ( y x ) \frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x}) dxdy=φ(xy)的形式,那么我们称之为齐次方程。

求解

u = y x u=\frac{y}{x} u=xy,则 y = u x y=ux y=ux,有 d y d x = u + x d u d x = φ ( u ) \frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u) dxdy=u+xdxdu=φ(u)易得其通解为 φ ( u ) − u = C 1 x \varphi(u)-u=C_{1}x φ(u)u=C1x代入 u = y x u=\frac{y}{x} u=xy φ ( y x ) − y x = C 1 x \varphi(\frac{y}{x})-\frac{y}{x}=C_{1}x φ(xy)xy=C1x

三、常系数线性微分方程

1、常系数齐次线性微分方程

求二阶常系数齐次线性微分方程 y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y^{''}+py^{'}+qy=0 y+py+qy=0的通解的一般步骤如下:
1)、写出特征方程 r 2 + p r + q = 0 r^{2}+pr+q=0 r2+pr+q=0
2)、求出特征根 r 1 , r 2 r_{1},r_{2} r1,r2
3)、根据特征根写出通解

特征根 r 1 , r 2 r_{1},r_{2} r1,r2 通解
两个不等实根 r 1 , r 2 r_{1},r_{2} r1,r2 y = C 1 e r 1 x + C 2 e r 2 x y=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x} y=C1er1x+C2er2x
重根 r 1 = r 2 r_{1}=r_{2} r1=r2 y = ( C 1 + C 2 x ) e r 1 x y=(C_{1}+C_{2}x)e^{r_{1}x} y=(C1+C2x)er1x
一对共轭复根 r 1 , 2 = α ± β i r_{1,2}=\alpha\pm\beta i r12=α±βi y = e α x ( C 1 c o s β x + C 2 s i n β x ) y=e^{\alpha x}(C_{1}cos\beta x+C_{2}sin\beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

\

2、常系数非齐次线性微分方程

f ( x ) = e λ x P m ( x ) f(x)=e^{\lambda x}P_{m}(x) f(x)=eλxPm(x)

f ( x ) = e λ x [ P l ( x ) c o s ω x + Q n ( x ) s i n ω x ] f(x)=e^{\lambda x}[P_{l}(x)cos\omega x+Q_{n}(x)sin\omega x] f(x)=eλx[Pl(x)cosωx+Qn(x)sinωx]

    原文作者:ckk666
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