08 微分方程

2021年6月30日 13点热度 0条评论 来源: Away5972

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常微分方程

1. 一阶微分方程

(1) 可分离变量的微分方程

定义:设 d y d x = f ( x , y ) {dy \over dx} = f(x,y) dxdy=f(x,y)(※)

​ 若 f ( x , y ) = φ 1 ( x ) φ 2 ( y ) f(x,y) = \varphi_1(x) \varphi_2(y) f(x,y)=φ1(x)φ2(y),称※为可分离变量的微分方程。

解法:

(2) 齐次微分方程

定义:设 d y d x = f ( x , y ) {dy \over dx} = f(x,y) dxdy=f(x,y)(※)

​ 若 f ( x , y ) = φ ( y x ) f(x,y) = \varphi({y \over x}) f(x,y)=φ(xy),称(※)为齐次微分方程

解法:

d y d x = φ ( y x ) {dy \over dx } = \varphi({y \over x}) dxdy=φ(xy)

y x = u {y \over x} = u xy=u

⇒ y = x u ⇒ d y d x = u + x d u d x \Rightarrow y =xu \Rightarrow {dy \over dx } = u + x{du \over dx} y=xudxdy=u+xdxdu,代入 d y d x = φ ( y x ) {dy \over dx } = \varphi({y \over x}) dxdy=φ(xy)

u + x d u d x = φ ( u ) u +x{du \over dx} = \varphi(u) u+xdxdu=φ(u)

⇒ ∫ d u φ ( u ) − u = ∫ d x x + C \Rightarrow \int {du \over \varphi(u) -u} = \int {dx \over x} +C φ(u)udu=xdx+C

(3) 一阶齐次线性微分方程

定义:形如 d y d x + P ( x ) y = 0 {dy \over dx}+P(x)y = 0 dxdy+P(x)y=0的方程称为一阶齐次线性微分方程

通解公式: y = C e − ∫ P ( x ) d x y = Ce^{-\int P(x)dx} y=CeP(x)dx

(4) 一阶非齐线性微分方程

定义:形如 d y d x + P ( x ) y = Q ( x ) {dy \over dx}+ P(x)y=Q(x) dxdy+P(x)y=Q(x)的方程称为一阶非齐线性微分方程

通解: y = [ ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + C ] e − ∫ P ( x ) d x y = [\int Q(x)\huge{e} ^{\int P(x)dx} dx+\large{C}]\huge{e} ^{-\int P(x)dx} y=[Q(x)eP(x)dxdx+C]eP(x)dx

2. 可降阶的高阶微分方程

(1) y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)

解法:对方程 y ( n ) = f ( x ) y^{(n)} = f(x) y(n)=f(x)进行n次不定积分即可求解。

(2) y ′ ′ = f ( x , y ′ ) y'' = f(x,y') y=f(x,y)

f ( x , y ′ , y ′ ′ ) = 0 f(x, y', y'') = 0 f(x,y,y)=0缺y型

解法:①令 y ′ = d y d x = P y' = {dy \over dx} = P y=dxdy=P y ′ ′ = d P d x y '' = {dP \over dx} y=dxdP,代入原方程化为 f ( x , P , d P d x ) = 0 f(x, P, {dP \over dx}) = 0 f(x,P,dxdP)=0

​ ②解出 P = φ ( x , C 1 ) P = \varphi(x, C_1) P=φ(x,C1),则方程通解为 y = ∫ φ ( x , C 1 ) d x + C 2 y = \int \varphi(x, C_1)dx+C_2 y=φ(x,C1)dx+C2

(3) y ′ ′ = f ( y , y ′ ) y'' = f(y, y') y=f(y,y)

f ( y , y ′ , y ′ ′ ) = 0 f(y, y', y'') = 0 f(y,y,y)=0缺x型

解法:①令 y ′ = P y' = P y=P,则 y ′ ′ = d P d x = d P d y d y d x = P d P d y y'' = {dP \over dx} = {dP \over dy}{dy \over dx} = P{dP \over dy} y=dxdP=dydPdxdy=PdydP,原方程化为 f ( y , P , P d y d y ) = 0 f(y, P, P{dy \over dy}) = 0 f(y,P,Pdydy)=0

​ ②解出 P = φ ( y , C 1 ) P = \varphi(y, C_1) P=φ(y,C1) d y φ ( y , C 1 ) = d x {dy \over \varphi(y, C_1)} = dx φ(y,C1)dy=dx,积分得 ∫ d y φ ( y , C 1 ) = x + C 2 \int {dy \over \varphi(y, C_1)}= x+C_2 φ(y,C1)dy=x+C2

3. 线性微分方程解的性质

(1) 微分方程的通解和特解

含有与微分方程的阶数相同个数的独立任意常数的解,称为微分方程的通解,通解也可以称

为一般解。

不含任意常数或任意常数确定后的解,称为微分方程的特解。

(2) 二阶微分方程解的结构

$y’’+ p(x)y’ +q(x)y = 0 $ (1)齐次方程

$y’’+ p(x)y’ +q(x)y = f(x) $ (2)非齐次方程

【定理1】如果 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是齐次方程(1)的两个线性无关的特解,那么
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)
就是方程(1)的通解。(齐次两个线性无关解的线性组合=齐次的解)

【注】若在区间 I I I y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)成比例,即 y 1 ( x ) y 2 ( x ) y_1(x) \over y_2(x) y2(x)y1(x) y 2 ( x ) y 1 ( x ) y_2(x) \over y_1(x) y1(x)y2(x)为常数,则称函数 y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)

在区间上线性相关。等价于 ∃ \exist 不全为零的常数 α 1 \alpha_1 α1 α 2 \alpha_2 α2,使得

α 1 y 1 ( x ) + α 2 ( x ) y 2 ( x ) = 0 ( ∀ x ∈ I ) \alpha_1y_1(x)+\alpha_2(x)y_2(x)= 0(\forall x \in I) α1y1(x)+α2(x)y2(x)=0(xI)

【定理2】如果 y ∗ y^* y是非齐次方程(2)的一个特解, y 1 ( x ) y_1(x) y1(x) y 2 ( x ) y_2(x) y2(x)是齐次方程(1)的两个线性无

关的特解,则
y = C 1 y 1 ( x ) + C 2 y 2 ( x ) + y ∗ ( x ) y = C_1y_1(x)+C_2y_2(x)+y^*(x) y=C1y1(x)+C2y2(x)+y(x)
是非齐次微分方程(2)的通解。(齐次的通解+非齐次的特解=非齐的通解)

【定理3】如果 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x),y_2^*(x) y1(x),y2(x)是非齐次方程(2)的两个特解,则
y ( x ) = y 1 ∗ ( x ) − y 2 ∗ ( x ) y(x) = y_1^*(x) - y_2^*(x) y(x)=y1(x)y2(x)
是齐次微分方程(1)的特解。(非齐次特解-非齐次特解=齐次特解)

【定理4】如果 y 1 ∗ ( x ) , y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x),y_2^*(x) y1(x),y2(x)分别是方程
y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 2 ( x ) y''+ p(x)y' +q(x)y = f_1(x)\\ y''+ p(x)y' +q(x)y = f_2(x) y+p(x)y+q(x)y=f1(x)y+p(x)y+q(x)y=f2(x)
的特解,则
y 1 ∗ ( x ) + y 2 ∗ ( x ) y_1^*(x)+y_2^*(x) y1(x)+y2(x)
是方程 y ′ ′ + p ( x ) y ′ + q ( x ) y = f 1 ( x ) + f 2 ( x ) y''+ p(x)y' +q(x)y = f_1(x) +f_2(x) y+p(x)y+q(x)y=f1(x)+f2(x)的解。

【定理5】若y是(1)的通解, y ∗ y^* y是(2)的特解,则
y + y ∗ y+y^* y+y
为(2)的通解。(齐次的解+非齐的解=非齐的解)

【定理6】

非齐的解的线性组合还是非齐的解 ⇔ \Leftrightarrow 系数相加为1

非齐的解的线性组合是齐的解 ⇔ \Leftrightarrow 系数相加为0

4. 常系数齐次线性微分方程

(1) 二阶常系数齐次线性方程

二阶常系数齐次线性方程的形式为
y ′ ′ + p y ′ + q y = 0 y'' +py'+qy = 0 y+py+qy=0
其中p、q为常数,其特征方程为 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+p \lambda+q=0 λ2+pλ+q=0

Δ = p 2 − 4 q > 0 , λ 1 ≠ λ 2 \Delta = p^2-4q>0,\lambda_1 \neq \lambda_2 Δ=p24q>0,λ1=λ2,通解为
y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x y = C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x} y=C1eλ1x+C2eλ2x
Δ = p 2 − 4 q = 0 , λ 1 = λ 2 \Delta = p^2 - 4q = 0, \lambda_1 = \lambda_2 Δ=p24q=0,λ1=λ2,通解为
y = ( C 1 + C 2 x ) e λ 1 x y = (C_1+C_2x)e^{\lambda_1x} y=(C1+C2x)eλ1x
Δ = p 2 − 4 q < 0 , λ 1 , 2 = α ± i β \Delta = p^2 - 4q <0 , \lambda_{1,2} = \alpha \pm i \beta Δ=p24q<0,λ1,2=α±iβ,通解为
y = e α x ( C 1 cos ⁡ β x + C 2 sin ⁡ β x ) y = e^{\alpha x}(C_1 \cos \beta x+C_2 \sin \beta x) y=eαx(C1cosβx+C2sinβx)

(2) 三阶常系数齐次线性方程

y ′ ′ + p y ′ ′ + q y ′ + r y = 0 y''+py''+qy'+ry = 0 y+py+qy+ry=0

其中p、q、r为常数,其特征方程为 λ 3 + p λ 2 + q λ + r = 0 \lambda^3+p\lambda^2+q\lambda+r = 0 λ3+pλ2+qλ+r=0

λ 1 ≠ λ 2 ≠ λ 3 \lambda_1 \neq \lambda _2 \neq \lambda_3 λ1=λ2=λ3,通解为
y = C 1 e λ 1 x + C 2 e λ 2 x + C 3 e λ 3 x y = C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}+C_3e^{\lambda_3 x} y=C1eλ1x+C2eλ2x+C3eλ3x
λ 1 = λ 2 ≠ λ 3 \lambda_1 = \lambda_2 \neq \lambda_3 λ1=λ2=λ3,通解为
y = ( C 1 + C 2 x ) e λ 1 x + C 3 e λ 3 x y = (C_1 +C_2x)e^{\lambda_1 x}+C_3e^{\lambda_3 x} y=(C1+C2x)eλ1x+C3eλ3x
λ 1 = λ 2 = λ 3 \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 λ1=λ2=λ3,通解为
y = ( C 1 + C 2 x + C 3 x ) e λ 1 x y = (C_1+C_2x+C_3x)e^{\lambda_1 x} y=(C1+C2x+C3x)eλ1x
λ 1 ∈ R , λ 2 , 3 = α ± i β \lambda_1 \in R, \quad \lambda_{2,3}= \alpha \pm i \beta λ1Rλ2,3=α±iβ
y = C 1 e λ 1 x + e α x ( C 2 cos ⁡ β x + C 3 sin ⁡ β x ) y = C_1e^{\lambda_1 x} + e^{\alpha x }(C_2 \cos \beta x + C_3 \sin \beta x) y=C1eλ1x+eαx(C2cosβx+C3sinβx)

5. 二阶常系数非齐线性方程

y ′ ′ + p y ′ + q y = f ( x ) y '' + p y' + qy = f(x) y+py+qy=f(x)

特征方程 λ 2 + p λ + q = 0 \lambda^2+ p \lambda+q = 0 λ2+pλ+q=0

f ( x ) = P n ( x ) f(x) = \rm{P}_n(x) f(x)=Pn(x) P n ( x ) \rm{P}_n(x) Pn(x)为x的n次多项式, P n ( x ) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ⋯ + a n x n \rm{P} _n(x) = a_0+a_1x +a_2x^2+ \cdots + a_n x^n Pn(x)=a0+a1x+a2x2++anxn

特解: y ∗ = x k Q n ( x ) y^* = x^k Q_n(x) y=xkQn(x)

k = { 0 , 0 ≠ λ 1 , 0 ≠ λ 2 1 , 0 = λ 1 或 0 = λ 2 2 , 0 = λ 1 = λ 2 k = \begin{cases} 0, & 0 \neq \lambda_1, 0 \neq \lambda_2 \\ 1, & 0 = \lambda_1 或 0 = \lambda_2 \\ 2, & 0 = \lambda_1 = \lambda_2 \end{cases} k=0,1,2,0=λ1,0=λ20=λ10=λ20=λ1=λ2

f ( x ) = A e α x f(x) = A e^{ \alpha x} f(x)=Aeαx,A为常数

特解: y ∗ = B x k e α x y^* = B x^ke^{ \alpha x} y=Bxkeαx,B为常数
k = { 0 , α ≠ λ 1 , α ≠ λ 2 1 , α = λ 1 或 α = λ 2 2 , α = λ 1 = λ 2 k = \begin{cases} 0, & \alpha \neq \lambda_1, \alpha \neq \lambda_2 \\ 1, & \alpha = \lambda_1 或 \alpha = \lambda_2 \\ 2, & \alpha = \lambda_1 = \lambda_2 \end{cases} k=0,1,2,α=λ1,α=λ2α=λ1α=λ2α=λ1=λ2

f ( x ) = P n ( x ) e α x f(x) = \rm{P}_n(x)e^{ \alpha x} f(x)=Pn(x)eαx【大纲要求】

特解: y ∗ = e α x Q n ( x ) x k y^*= e^{ \alpha x} Q_n(x)x^k y=eαxQn(x)xk

{ e α x 照 抄 Q n ( x ) 为 x 的 n 次 一 般 多 项 式 k = { 0 , α ≠ λ 1 , α ≠ λ 2 1 , α = λ 1 或 α = λ 2 2 , α = λ 1 = λ 2 \begin{cases} e^{\alpha x}照抄 \\[2ex] Q_n(x)为x的n次一般多项式\\[2ex] k = \begin{cases} 0, & \alpha \neq \lambda_1, \alpha \neq \lambda_2 \\[1ex] 1, & \alpha = \lambda_1 或 \alpha = \lambda_2 \\[1ex] 2, & \alpha = \lambda_1 = \lambda_2 \end{cases} \end{cases} eαxQn(x)xnk=0,1,2,α=λ1,α=λ2α=λ1α=λ2α=λ1=λ2

f ( x ) = A sin ⁡ ω x f(x) = A \sin \omega x f(x)=Asinωx A cos ⁡ ω x A \cos \omega x Acosωx,A、 ω \omega ω均为常数

特解: y ∗ = x k ( M cos ⁡ ω x + N sin ⁡ ω x ) y^* = x^k(M \cos \omega x+ N \sin \omega x) y=xk(Mcosωx+Nsinωx)

k = { 0 , i ω 不 是 特 征 值 1 , i ω 是 特 征 值 k = \begin{cases}0, & i \omega 不是特征值 \\ 1, &i \omega 是特征值 \end{cases} k={ 0,1,iωiω

f ( x ) = A e α x sin ⁡ β x f(x) = A e^{\alpha x} \sin \beta x f(x)=Aeαxsinβx A e α x cos ⁡ β x Ae^{\alpha x} \cos \beta x Aeαxcosβx,A、 α \alpha α β \beta β均为常数

特解: y ∗ = e α x ( M cos ⁡ β x + N sin ⁡ β x ) x k y^* = e^{\alpha x}(M \cos \beta x + N \sin \beta x)x^k y=eαx(Mcosβx+Nsinβx)xk

k = { 0 , α ± i β 不 是 特 征 值 1 , α ± i β 是 特 征 值 k = \begin{cases}0, & \alpha \pm i \beta 不是特征值 \\ 1, &\alpha \pm i \beta是特征值 \end{cases} k={ 0,1,α±iβα±iβ

f ( x ) = e α x [ P m ( x ) cos ⁡ β x + P n ( x ) sin ⁡ β x ] f(x) = e^{\alpha x}[ \rm{P}_m(x) \cos \beta x+\rm{P}_n(x) \sin \beta x] f(x)=eαx[Pm(x)cosβx+Pn(x)sinβx]【大纲要求】

特解: y ∗ = e α x [ Q l ( 1 ) ( x ) cos ⁡ β x + Q l ( 2 ) ( x ) sin ⁡ β x ] x k y^* = e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}(x) \cos \beta x+ Q_l^{(2)}(x) \sin \beta x]x^k y=eαx[Ql(1)(x)cosβx+Ql(2)(x)sinβx]xk

{ e α x 照 抄 l = m a x { m , n } , Q l ( 1 ) ( x ) , Q l ( 2 ) ( x ) 分 别 为 x 的 两 个 不 同 的 l 次 一 般 多 项 式 k = { 0 , α ± i β 不 是 特 征 值 1 , α ± i β 是 特 征 值 \begin{cases} e^{\alpha x}照抄 \\[2ex] l = max\{ m,n\}, Q_l^{(1)}(x),Q_l^{(2)}(x)分别为x的两个不同的l次一般多项式\\[2ex] k = \begin{cases} 0, & \alpha \pm i \beta 不是特征值 \\[1ex] 1, &\alpha \pm i \beta是特征值 \end{cases} \end{cases} eαxl=max{ m,n},Ql(1)(x),Ql(2)(x)xlk={ 0,1,α±iβα±iβ

注意点

  1. 如果看到一个微分方程什么类型都不是

    ①就将x与y对调,原来是y是未知函数 d y d x dy \over dx dxdy,现在将x看成是未知函数 d x d y dx \over dy dydx

    ②变量代换

  2. 判断微分方程的类型的时候盯住未知函数y和 y ′ y' y

补充点

方法

  1. 对一般的微分方程,知道通解,如何找方程。

    几阶方程,通解求几阶导数,消去任意常数,得微分方程。

  2. 积分方程求解

    化积分方程为微分方程:两边求导化,如果不能直接求,做变量代换。

    原文作者:Away5972
    原文地址: https://blog.csdn.net/u012133508/article/details/118357700
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