微分方程_偏微分方程

2021年6月29日 16点热度 0条评论 来源: charlie_wang007

通过一个经典的物理学例子来了解偏微分方程


金属板上的每一点的某一时刻的温度表示:

在简化到二维,假设有两根温度不同的金属杆,开始时每一根上所有点的温度相同

当它们的一端接触到一起之后,我们知道温度会传导,那么温度如何传导,传导过程中的每一时刻每个点上的温度如何变化

描述系统从一个时刻到另一个时刻的变化量,就是以时间求导的过程




建立坐标系

x轴是杆上的每一点

y轴表示温度

于是我们有了温度随着位置变化的函数T(x)

但这只是某一时刻的杆的温度变化,不同时刻的T(x)是不同的

想象我们有两个输入值,时间和位置,求某一时刻某一点的温度就是T(x,t)

把时间也用坐标轴表示出来

位置的变化引起温度的变化,理解为温度沿x轴方向上的斜率


另外一个导数是时间的微小变化引起的温度变化

这两个导数都只描述了温度函数的一部分,因此叫做偏导数

数学上用小写的 ∂ \partial 表示偏导数

∂ \partial t和 ∂ \partial x所代表的变化


同时这个符号 ∂ \partial 所代表的是变量无穷小时这个比值的极限

所以热传导方程就是用偏导数来表示的

说明这个函数相对于时间的变化取决于它相对于空间的变化


由偏导数定义的方程,称为偏微分方程

再简化这个方程,把它看成二维的有限的点对应的温度

假设有一个点,

比左右相邻的两个点的平均值高,会降温

比左右相邻的两个点的平均值低,会升温

也就是说

将相邻两点的平均值 T 1 + T 3 T 2 \frac{T_1+T_3}{T_2} \quad T2T1+T3 T 2 T_2 T2 做差,

结果为正, T 2 T_2 T2 会升温.

结果为负, T 2 T_2 T2 会降温

差值越大, T 2 T_2 T2 的温度变化越快

用公式来表示则


定义一个比例常数a,

重写方程,使其贴近导数语言

Δ \Delta Δ T 2 T_2 T2 Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1表示三个点之间的差值,

可以继续简化表达式

Δ \Delta Δ T 2 T_2 T2- Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1表示差值的差值

着同样能表示

Δ \Delta Δ T 2 T_2 T2> Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1 T 2 T_2 T2 会升温.

Δ \Delta Δ T 2 T_2 T2< Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1 T 2 T_2 T2 会降温.


Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1来表示差值的差值,

Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1就是“二阶差分”

**二阶差分 Δ \Delta Δ Δ \Delta Δ T 1 T_1 T1**表示这一点与相邻两点的均值究竟有多大的区别

最终 的结论是:

扩展到无限,连续,二阶差分就是二阶导数

所谓二阶导数就是表示变化趋势的变化速率

拓展到更高维,增加更多的变量,只需要求每个变量的偏导,再加和,同样乘以比例系数

这样将所有二阶导数相加的运算被称为拉普拉斯算子

通常写作 Δ 2 \Delta^2 Δ2 T T T


求偏导数实例:

求二元函数 f ( x , y ) = x 2 y + s i n ( y ) f(x,y)=x^2y+sin(y) f(x,y)=x2y+sin(y)

在点(-1,1)处x的偏导

当我们求x的偏导,就要把y看做常数,常数的导数为0

x 2 x^2 x2的导数为2x

    原文作者:charlie_wang007
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