常微分方程机敏问答[2] #20210619

2021年6月19日 18点热度 0条评论 来源: tritone

常微分方程机敏问答[2] #20210619

本专栏主要作个人复习自测,有相关知识预备的同学也可作复习用。不保证无相应基础的人士能看明白。
万一考试考到了,或者对你的学习有较大帮助,一键三连不过分吧(斜眼笑)

一阶线性ODE

  1. 一阶齐次线性ODE的解如果有一点等于0,则()(注:可以通过解的唯一性和通解的表达式说明)。这与非齐次方程中解的唯一性有何联系?请验证 D y : = d y / d x + p ( x ) y Dy:= dy/dx+p(x)y Dy:=dy/dx+p(x)y中的 D D D是线性算子,即 D ( a y + b z ) = a D y + b D z D(ay+bz)=aDy+bDz D(ay+bz)=aDy+bDz.
  2. y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y+p(x)y=q(x) p , q p,q p,q都是周期为 T T T的函数,已知非齐次方程解 f ( x ) f(x) f(x),那么 f ( x + T ) f(x+T) f(x+T)也是解。这个结论和自治系统有何联系和区别?对 f ( 0 ) = f ( T ) f(0)=f(T) f(0)=f(T)的情况,有什么结论?(提示:现在知道了两个非齐次方程的解,你想做什么?)
  3. 若1.中 q ( x ) = 0 q(x)=0 q(x)=0,请直接由通解的形式得到方程非零解以 T T T为周期的充要条件。
  4. 利用2.,当 q ( x ) q(x) q(x)不恒为0时,如果有两个不同的 T T T周期解,则有什么结论?
  5. 由于通解公式中出现 e − ∫ p d x e^{-\int pdx} epdx,所以把 t a n x , 1 / ( 1 − x 2 ) tanx,1/(1-x^2) tanx,1/(1x2)等函数作为 p p p就成了出题的合理选择。请背诵上述两者的不定积分。
  6. y ′ = 1 / c o s y + x t a n y y'=1/cosy+xtany y=1/cosy+xtany换元化为一阶线性ODE. 3 x y 2 y ′ + y 3 + x 3 3xy^2y'+y^3+x^3 3xy2y+y3+x3除了直接用 u = y 3 , u ′ = 3 y 2 y ′ u=y^3,u'=3y^2y' u=y3,u=3y2y换元外,还可以化成什么样的一阶线性ODE?(写出一种)
  7. 简述一阶线性ODE的积分因子解法怎么推广到不等式的证明。
  8. f f f R \mathbb R R上有界时, e − x ∫ − ∞ x f ( s ) e s d s = ∫ 0 e x f ( l n y ) d y / e x e^{-x}\int_{-\infty}^x f(s)e^sds=\int_{0}^{e^x}f(lny)dy/e^x exxf(s)esds=0exf(lny)dy/ex有界。为了考察这样的 f f f对应的 y ′ + y = f y'+y=f y+y=f的所有可能的有界解,我们可以把一阶线性ODE的通解公式改写为 e − ∫ x 1 x p ( s ) d s ( ∫ x 0 x q ( s ) e ∫ x 1 s p ( t ) d t d s ) e^{-\int_{x_1}^x p(s)ds}(\int_{x_0}^x q(s)e^{\int_{x_1}^s p(t)dt}ds) ex1xp(s)ds(x0xq(s)ex1sp(t)dtds). 试解释之前的常数 C C C体现在哪里了?

答案

  1. 该解恒为0. 注意两个非齐次方程的解相减等于一个齐次方程的解。
  2. 自治系统 T T T可以为任何实数。提示:相减,得到 f ( 0 ) = f ( T ) f(0)=f(T) f(0)=f(T) f f f为周期为 T T T的周期函数。
  3. p p p在一个周期平均值为0.
  4. 一系列结论,比如:非齐次方程任意解都是周期解。(因为非齐次方程通解=齐次方程通解+非齐次方程特解)
  5. − l n ∣ c o s x ∣ + C , 1 2 l n ∣ 1 + x 1 − x ∣ + C -ln|cosx|+C,\frac 12 ln|\frac{1+x}{1-x}|+C lncosx+C,21ln1x1+x+C
  6. ( s i n y ) ′ = c o s y y ′ (siny)'=cosyy' (siny)=cosyy提示我们两边乘 c o s y cosy cosy凑出 ( s i n y ) ′ = x s i n y + 1 (siny)'=xsiny+1 (siny)=xsiny+1. 这是一阶线性ODE.
    提示:对于 u ′ + u / x + x 2 = 0 u'+u/x+x^2=0 u+u/x+x2=0直接解出 u = C x − ∫ x 3 d x / x = C x − x 3 4 u=\frac Cx -\int x^3 dx/x=\frac Cx-\frac{x^3}4 u=xCx3dx/x=xC4x3,从而 v = x y 3 + x 4 4 v=xy^3+\frac {x^4}4 v=xy3+4x4时我们有 v ′ = 0 v'=0 v=0是一阶线性ODE.(当然,这个角度有点刁钻)
  7. 提示:凑全微分之后,以前是某表达式求导直接等于某确定的关于 x x x的函数。如果改为某表达式求导大于等于0,则该表达式递增,可用于证明不等式。
  8. x 0 x_0 x0是待定常数(当然, x 0 x_0 x0取遍一切值时不一定得到所有的解)。注意 x 1 x_1 x1没有本质影响。(思考:为什么?)

换元法

  1. 提取出 y ′ = f ( x + y ) y'=f(x+y) y=f(x+y)换元的核心思想(什么样的系统?)。并由此求解 c o s y y ′ + c o s x = ( s i n y + s i n x + x ) 2 cosyy'+cosx=(siny+sinx+x)^2 cosyy+cosx=(siny+sinx+x)2
  2. y ′ = f ( y / x ) y'=f(y/x) y=f(y/x)和0.有什么异同?
  3. 什么叫关于 x , y x,y x,y m m m次齐次函数?为什么两个关于 x , y x,y x,y m m m次齐次函数之商能化为 f ( y / x ) f(y/x) f(y/x)
  4. 换元 u = a x + b , v = c y + d , a ≠ 0 , c ≠ 0 u=ax+b,v=cy+d,a\neq 0,c\neq 0 u=ax+b,v=cy+d,a=0,c=0 d v / d u d y / d x = \frac{dv/du}{dy/dx}= dy/dxdv/du=(),借此严格地求解 y ′ = 2 y − x + 5 2 x − y − 4 y'=\frac{2y-x+5}{2x-y-4} y=2xy42yx+5.(不需显式表达 y y y
  5. 刚才3.中你解出的解曲线没有显式表达 y y y,请解释你如何保证线素场竖直的点被挖去。
  6. 换元 x = A u B , y = C v D x=Au^B,y=Cv^D x=AuB,y=CvD,可以给 y ′ + p ( x ) y = q ( x ) y'+p(x)y=q(x) y+p(x)y=q(x)造成什么效果?给 y ′ + y 2 = x m y'+y^2=x^m y+y2=xm呢?给 y ′ = x 3 + x y 2 + x x 2 y + y 3 + y y'=\frac{x^3+xy^2+x}{x^2y+y^3+y} y=x2y+y3+yx3+xy2+x呢?借此严格求解 ( x 2 + y 2 + 3 ) y ′ = 2 x ( 2 y − x 2 / y ) (x^2+y^2+3)y'=2x(2y-x^2/y) (x2+y2+3)y=2x(2yx2/y).
  7. 回忆抛物线的光学性质,并解微分方程证明满足该光学性质的曲线是抛物线。

答案

  1. 一维自治系统 u ′ = f ( u ) u'=f(u) u=f(u).
  2. 都是化成 f ( g ( x , y ) ) f(g(x,y)) f(g(x,y))再换元 u = g ( x , y ) u=g(x,y) u=g(x,y),但 u = x + y u=x+y u=x+y时, u ′ = 1 + y ′ = 1 + f ( u ) u'=1+y'=1+f(u) u=1+y=1+f(u)直接只和 u u u有关了。 y / x y/x y/x求导后虽然不只显含 u u u,但是分子和分母都只显含一个变量。
    另外注意对于 u = y / x u=y/x u=y/x,可能需要单独考虑 x = 0 x=0 x=0情况。
  3. P ( t x , t y ) = t m P ( x , y ) P(tx,ty)=t^mP(x,y) P(tx,ty)=tmP(x,y).
  4. c / a c/a c/a. u = x − 1 , v = y + 2 , v u ′ = 2 v − u 2 u − v u=x-1,v=y+2,v_u'=\frac{2v-u}{2u-v} u=x1,v=y+2,vu=2uv2vu
    r = v / u , r u ′ = v ′ u − v u 2 = f ( r ) − r u = 2 r − 1 2 − r − r u r=v/u,r'_u=\frac{v'u-v}{u^2}=\frac{f(r)-r}{u}=\frac{\frac{2r-1}{2-r}-r}{u} r=v/u,ru=u2vuv=uf(r)r=u2r2r1r
    注:原始的方程等价于:在 u ≠ 0 u\neq 0 u=0 d r / d u = r 2 − 1 ( 2 − r ) u dr/du=\frac{r^2-1}{(2-r)u} dr/du=(2r)ur21且在 u = 0 u=0 u=0时满足原始方程
    因上述注,我们首先考虑曲线是原方程解的必要条件
    若解曲线上存在任何 r = 1 , − 1 r=1,-1 r=1,1的点,则根据唯一性定理,这样的解只能是 y = x − 3 ( x ≠ 1 ) y=x-3(x\neq1) y=x3(x=1) y = − x − 1 ( x ≠ 1 ) y=-x-1(x\neq 1) y=x1(x=1).
    否则 d u / u = ( 2 − r ) d r ( r 2 − 1 ) = ( 1.5 − 1.5 r + 0.5 + 0.5 r ) d r ( r + 1 ) ( r − 1 ) = − 1.5 d r r + 1 + 0.5 d r r − 1 , r ≠ 2 , 1 , − 1 du/u=\frac{(2-r)dr}{(r^2-1)}=\frac{(1.5-1.5r+0.5+0.5r)dr}{(r+1)(r-1)}=\frac{-1.5dr}{r+1}+\frac{0.5dr}{r-1},r\neq2,1,-1 du/u=(r21)(2r)dr=(r+1)(r1)(1.51.5r+0.5+0.5r)dr=r+11.5dr+r10.5dr,r=2,1,1
    l n ∣ u ∣ = − 1.5 l n ∣ r + 1 ∣ + 0.5 l n ∣ r − 1 ∣ + C ln|u|=-1.5ln|r+1|+0.5ln|r-1|+C lnu=1.5lnr+1+0.5lnr1+C
    ∣ x − 1 ∣ = A ∣ y + 2 x − 1 + 1 ∣ − 1.5 ∣ y + 2 x − 1 − 1 ∣ 0.5 |x-1|=A|\frac{y+2}{x-1}+1|^{-1.5}|\frac{y+2}{x-1}-1|^{0.5} x1=Ax1y+2+11.5x1y+210.5
    1 = A ∣ y + x + 1 ∣ − 1.5 ∣ y − x + 3 ∣ 0.5 , 2 x − y − 4 ≠ 0 , y + x + 1 ≠ 0 , y − x + 3 ≠ 0 , A > 0 1=A|y+x+1|^{-1.5}|y-x+3|^{0.5},2x-y-4\neq0,y+x+1\neq0,y-x+3\neq0,A>0 1=Ay+x+11.5yx+30.5,2xy4=0,y+x+1=0,yx+3=0,A>0
    当然,以上可以总结成 ( y + x + 1 ) 3 = C ( y − x + 3 ) , x ≠ 1 , 2 x − y − 4 ≠ 0 , C ∈ R (y+x+1)^3=C(y-x+3),x\neq 1,2x-y-4\ne 0,C\in\mathbb R (y+x+1)3=C(yx+3),x=1,2xy4=0,CR y − x + 3 = 0 , x ≠ 1 , 2 x − y − 4 ≠ 0 y-x+3=0,x\neq 1,2x-y-4\ne 0 yx+3=0,x=1,2xy4=0.
    注: C = 0 C=0 C=0的情况就是 y + x + 1 = 0 y+x+1=0 y+x+1=0.
    根据 x = 1 x=1 x=1处的连续性,解曲线是原方程解的一个必要条件是 ( y + x + 1 ) 3 = C ( y − x + 3 ) , C ∈ R , 2 x − y − 4 ≠ 0 (y+x+1)^3=C(y-x+3),C\in\mathbb R,2x-y-4\ne 0 (y+x+1)3=C(yx+3),CR,2xy4=0 y − x + 3 = 0 , 2 x − y − 4 ≠ 0 y-x+3=0,2x-y-4\ne0 yx+3=0,2xy4=0. 而这也是充分条件,这就严格进行了求解。
  5. 始终保证右侧分母 2 x − y − 4 2x-y-4 2xy4不为0即可。
  6. C D v D − 1 v ′ A B u B − 1 + p ∗ ( u ) C v D = q ∗ ( u ) , u 1 − B v ′ + p ∗ ∗ ( u ) v = q ∗ ∗ ( u ) v 1 − D \frac{CDv^{D-1}v'}{ABu^{B-1}}+p^*(u) Cv^D=q^*(u),u^{1-B}v'+p^{**}(u)v=q^{**}(u)v^{1-D} ABuB1CDvD1v+p(u)CvD=q(u),u1Bv+p(u)v=q(u)v1D.
    C D v D − 1 v ′ A B u B − 1 + C 2 v 2 D = A m u B m \frac{CDv^{D-1}v'}{ABu^{B-1}}+C^2v^{2D}=A^mu^{Bm} ABuB1CDvD1v+C2v2D=AmuBm,考虑 1 − B = B m , D − 1 = 2 D 1-B=Bm,D-1=2D 1B=Bm,D1=2D K 1 v ′ + K 2 u B − 1 = K 3 v − 2 D , K 1 v ′ + K 2 u − m / ( m + 1 ) = K 3 v 2 K_1v'+K_2u^{B-1}=K_3v^{-2D},K^1v'+K_2u^{-m/(m+1)}=K_3v^2 K1v+K2uB1=K3v2D,K1v+K2um/(m+1)=K3v2.
    略。
    y ≠ 0 y\ne 0 y=0,换元 u = x 2 + 2 , v = y 2 + 1 u=x^2+2,v=y^2+1 u=x2+2,v=y2+1得到 ( u + v ) d v = 2 ( 2 v − u ) d u (u+v)dv=2(2v-u)du (u+v)dv=2(2vu)du.
    t = u / v t=u/v t=u/v,则 v ≠ 0 v\ne0 v=0 t v ′ = t + 1 4 − 2 t − t v t'_v=\frac{\frac{t+1}{4-2t}-t}{v} tv=v42tt+1t,下略。
  7. 2 a r c t a n y ′ = a r c t a n ( − x / y ) , − x / y = 2 y ′ / ( 1 − y ′ 2 ) , y ′ 2 x / y − 2 y ′ − x / y = 0 2arctan y'=arctan(-x/y),-x/y=2y'/(1-y'^2),y'^2x/y-2y'-x/y=0 2arctany=arctan(x/y),x/y=2y/(1y2),y2x/y2yx/y=0
    y ′ = 1 ± 1 + x 2 / y 2 x / y = y / x ± y 2 / x 2 + 1 : = f ± ( y / x ) = f ± ( u ) y'=\frac{1\pm\sqrt{1+x^2/y^2}}{x/y}=y/x\pm\sqrt{y^2/x^2+1}{}:=f_\pm(y/x)=f_\pm(u) y=x/y1±1+x2/y2 =y/x±y2/x2+1 :=f±(y/x)=f±(u)
    u x ′ = y ′ − u x , d x / x = d u / ( ± u 2 + 1 ) , l n ∣ x ∣ = ± l n ( u + u 2 + 1 ) + C u'_x=\frac{y'-u}{x},dx/x=du/(\pm\sqrt{u^2+1}),ln|x|=\pm ln(u+\sqrt{u^2+1})+C ux=xyu,dx/x=du/(±u2+1 ),lnx=±ln(u+u2+1 )+C
    x = A ( u 2 + 1 ± u ) , ( x ± A y / x ) 2 = A 2 ( y 2 / x 2 + 1 ) , x 2 ± 2 A y = A 2 x=A(\sqrt{u^2+1}\pm u),(x\pm Ay/x)^2=A^2(y^2/x^2+1),x^2\pm2Ay=A^2 x=A(u2+1 ±u),(x±Ay/x)2=A2(y2/x2+1),x2±2Ay=A2
    注:根据实际意义,可能需要决定正负号,此处略。

积分因子法

  1. 对于 x y ′ + a y xy'+a y xy+ay结构,两项的 x x x次数差一提示我们考虑形如()的积分因子。求解出待定系数即可。
  2. 直接写出 P d x + Q d y = 0 Pdx+Qdy=0 Pdx+Qdy=0恰当的充要条件和 μ P d x + μ Q d y = 0 \mu Pdx+\mu Qdy=0 μPdx+μQdy=0恰当的充要条件。若代入 μ = μ ( x ) \mu=\mu(x) μ=μ(x)(即 μ \mu μ y y y无关)则如何?
  3. 把上面的 μ ( x ) \mu(x) μ(x)改为 μ ( ϕ ( x , y ) ) \mu(\phi(x,y)) μ(ϕ(x,y))(复合函数)则如何?
  4. μ ( P d x + Q d y ) = d F , λ ( R d x + S d y ) = d G \mu(Pdx+Qdy)=dF,\lambda(Rdx+Sdy)=dG μ(Pdx+Qdy)=dF,λ(Rdx+Sdy)=dG,那么怎么处理 ( P + R ) d x + ( Q + S ) d y (P+R)dx+(Q+S)dy (P+R)dx+(Q+S)dy
  5. P , Q P,Q P,Q是齐 n n n次函数则 P d x + Q d y = 0 Pdx+Qdy=0 Pdx+Qdy=0有积分因子()。解释证明过程用到的 n t n − 1 P ( x , y ) = ( t n ) ′ P ( x , y ) = d P ( t x , t y ) / d t = x ∂ x P ∣ ( t x , t y ) + y ∂ y P ∣ ( t x , t y ) = t n − 1 ( x ∂ x P ∣ ( x , y ) + y ∂ y P ∣ ( x , y ) ) nt^{n-1}P(x,y)=(t^n)'P(x,y)=dP(tx,ty)/dt=x\partial_x P|_{(tx,ty)}+y\partial_y P|_{(tx,ty)}=t^{n-1}(x\partial_xP|_{(x,y)}+y\partial_yP|_{(x,y)}) ntn1P(x,y)=(tn)P(x,y)=dP(tx,ty)/dt=xxP(tx,ty)+yyP(tx,ty)=tn1(xxP(x,y)+yyP(x,y))。(下标表示求偏导)
  6. 假设ODE的一族解是 F ( x , y ) = C F(x,y)=C F(x,y)=C,若 C C C表示”高度“,此时解曲线的直观意义是什么?

答案

  1. x b x^b xb
  2. P y = Q x , ( μ P ) y = ( μ Q ) x P_y=Q_x,(\mu P)_y=(\mu Q)_x Py=Qx,(μP)y=(μQ)x(下标表示偏导), Q μ x = μ ( P y − Q x ) , ( l n ∣ μ ∣ ) x = μ x / μ = ( P y − Q x ) / Q Q\mu_x=\mu(P_y-Q_x),(ln|\mu|)_x=\mu_x/\mu=(P_y-Q_x)/Q Qμx=μ(PyQx),(lnμ)x=μx/μ=(PyQx)/Q,如果右侧只和 x x x有关就找到了积分因子 μ \mu μ.
  3. 略。
  4. μ \mu μ是积分因子则 Φ ( F ) μ \Phi(F)\mu Φ(F)μ根据链式法则也是。所以考虑 Φ , Ψ \Phi,\Psi Φ,Ψ使得 μ Φ ( F ) = λ Ψ ( G ) \mu\Phi(F)=\lambda\Psi(G) μΦ(F)=λΨ(G).
  5. ( x P + y Q ) − 1 (xP+yQ)^{-1} (xP+yQ)1. 第二个等号:直接考虑 P ( ( t + Δ t ) x , ( t + Δ t ) y ) = ( t + Δ t ) n P ( x , y ) P((t+\Delta t)x,(t+\Delta t)y)=(t+\Delta t)^n P(x,y) P((t+Δt)x,(t+Δt)y)=(t+Δt)nP(x,y). 第三个等号:多元微分链式法则。第四个等号:直接根据定义验证。
  6. 等高线。(等高,即 d F = 0 dF=0 dF=0. 因此直观上我们相信有积分因子)

应用举例

  1. 回忆由单参数曲线族 Φ ( x , y ; C ) = 0 \Phi(x,y;C)=0 Φ(x,y;C)=0如何决定对称形式的微分方程 P d x + Q d y = 0 Pdx+Qdy=0 Pdx+Qdy=0,以及原始形式的微分方程 y ′ = H ( x , y ) y'=H(x,y) y=H(x,y),并请由此直接写出“正交轨线”满足什么微分方程。
  2. 2 y d x − x d y = 0 2ydx-xdy=0 2ydxxdy=0的正交轨线族满足什么对称形式的微分方程?
  3. 求与 x y = C xy=C xy=C相交始终成 π / 4 \pi/4 π/4的曲线族。
  4. 已知 x ′ = x ( − 1 + y ) , y ′ = y ( 1 − x ) x'=x(-1+y),y'=y(1-x) x=x(1+y),y=y(1x)的解曲线是某个第一象限点附近的一族闭轨,利用 ( l n x ) ′ (lnx)' (lnx) ( l n y ) ′ (lny)' (lny)表达式说明一个周期内 y y y的平均值 y ˉ \bar y yˉ对一切闭轨为定值。
  5. 请形式上把 y ′ = y / ( x + y 2 ) y'=y/(x+y^2) y=y/(x+y2)化为 x ′ = f ( x , y ) x'=f(x,y) x=f(x,y).
    平面上, P P P从原点出发,以匀速1向右运动, Q Q Q ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)出发以匀速2追赶 P P P,速度方向永远指向 P P P,则考察 Q Q Q相对于 P P P坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y),有 ( x t ′ , y t ′ ) = (x'_t,y'_t)= (xt,yt)=(),现请利用前面的提示,考察 x y ′ x'_y xy,并利用积分因子法一节的0.进行求解。

答案

  1. 求导后联立消 C C C. y ′ = − 1 / H ( x , y ) y'=-1/H(x,y) y=1/H(x,y).
    注:如果使用对称形式,则无需考虑分母为0的特例。
  2. x d x + 2 y d y = 0 xdx+2ydy=0 xdx+2ydy=0(同心椭圆)
  3. x d y + y d x = 0 xdy+ydx=0 xdy+ydx=0,形式上 y ′ = − y / x y'=-y/x y=y/x,则旋转 π / 4 \pi/4 π/4 y ′ = t a n ( a r c t a n y ′ ± π / 4 ) = − y ± x x ± y y'=tan(arctany'\pm \pi/4)=\frac{-y\pm x}{x\pm y} y=tan(arctany±π/4)=x±yy±x ( x ± y ) d y + ( y ∓ x ) d x = 0 (x\pm y)dy+(y\mp x)dx=0 (x±y)dy+(yx)dx=0
    对于第一种情况, d ( x y + y 2 2 − x 2 2 ) = 0 d(xy+\frac{y^2}2-\frac{x^2}2)=0 d(xy+2y22x2)=0,第二种情况略。
  4. 一个周期中, 0 = Δ ( l n x ) = ∫ x ′ / x = ∫ ( − 1 + y ) = − T + T y ˉ 0=\Delta(lnx)=\int x'/x=\int(-1+y)=-T+T\bar y 0=Δ(lnx)=x/x=(1+y)=T+Tyˉ
  5. x ′ = x / y + y x'=x/y+y x=x/y+y(为一阶线性ODE)
    ( − 1 − 2 x x 2 + y 2 , − 2 y x 2 + y 2 ) (-1-\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}},-\frac{2y}{\sqrt{x^2+y^2}}) (1x2+y2 2x,x2+y2 2y)
    x y ′ = − r − 2 x − 2 y , − r − 2 x + 2 y x y ′ = 0 , ( x / y ) y ′ y 2 = y x y ′ − x = r / 2 = y 2 ( 1 + ( x / y ) 2 ) 2 x'_y=\frac{-r-2x}{-2y},-r-2x+2yx'_y=0,(x/y)'_yy^2=yx'_y-x=r/2=\frac{\sqrt{y^2(1+(x/y)^2)}}2 xy=2yr2x,r2x+2yxy=0,(x/y)yy2=yxyx=r/2=2y2(1+(x/y)2) ,此时 x / y x/y x/y可以换元为 u u u.
    原文作者:tritone
    原文地址: https://blog.csdn.net/tritone/article/details/117855649
    本文转自网络文章,转载此文章仅为分享知识,如有侵权,请联系管理员进行删除。