hdu-2544-最短路-(bellman-ford、dijkstra、floyd、SPFA算法)

2021年5月4日 3点热度 0条评论 来源: Bigdz

最短路问题在程序竞赛中是经常出现的内容,解决单源最短路经问题的有bellman-ford和dijkstra两种算法,其中,dijikstra算法是对bellman的改进。同时介绍了floyd算法、SPFA算法。以这道例题开始讲解

题目传送门:https://vjudge.net/problem/HDU-2544

最短路

在每年的校赛里,所有进入决赛的同学都会获得一件很漂亮的t-shirt。但是每当我们的工作人员把上百件的衣服从商店运回到赛场的时候,却是非常累的!所以现在他们想要寻找最短的从商店到赛场的路线,你可以帮助他们吗? 

Input

输入包括多组数据。每组数据第一行是两个整数N、M(N<=100,M<=10000),N表示成都的大街上有几个路口,标号为1的路口是商店所在地,标号为N的路口是赛场所在地,M则表示在成都有几条路。N=M=0表示输入结束。接下来M行,每行包括3个整数A,B,C(1<=A,B<=N,1<=C<=1000),表示在路口A与路口B之间有一条路,我们的工作人员需要C分钟的时间走过这条路。 
输入保证至少存在1条商店到赛场的路线。 

Output

对于每组输入,输出一行,表示工作人员从商店走到赛场的最短时间

Sample Input

2 1

1 2 3

3 3

1 2 5

2 3 5

3 1 2

0 0

Sample Output

3

2

  1.Dijkstra算法

 

课件见链接:https://pan.baidu.com/s/1cHHIz0(路径path课件)


例题代码:

#define N 1000
#define MAX 0x3f3f3f3f

int mpa[N][N];
int dis[N];
int vis[N];
int n,;
//dis存贮权值  vis是否执行过 mpa用邻接矩阵存贮
void dijkstra(int v0)
{
    int mindis,i,j,u;
    //初始化dis为v0行的权值,vis为0
    memset(dis,MAX,sizeof(dis));

    for(i=1; i<=n; i++)
    {
        dis[i]=mpa[v0][i];
        vis[i]=0;
    }
    vis[v0]=1; //标记第一个v0走过
   
    for(i=1; i<n; i++)//一共需要执行n-1轮
    {
        mindis=MAX;
        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(vis[j]==0 && dis[j]<mindis)
            {
                u=j;
                mindis=dis[j];
            }
        }//寻找当前没有走过dis值最小的标号
        vis[u]=1;//标记u走过

        for(j=1; j<=n; j++)
        {
            if(vis[j]==0 && dis[u]+mpa[u][j]<dis[j])
                dis[j]=dis[u]+mpa[u][j];
        }//比较当前dis[u]+mpa[u][j]是否小于s[j],取每次的最小
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
    {
        memset(mpa,MAX,sizeof(mpa));
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            if(z<mpa[x][y])
               mpa[x][y]=mpa[y][x]=z;
        }
        dijkstra(1);
        cout<<dis[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

2.Bellman_Ford算法


       单源最短路是从一个点出发,到其他所有顶点的最短距离。起点是s,假如求s到顶点i的最短路(用数组d[i]表示s到i的最短距离,d[s]=0,d[i]=INF),会有这样一个关系式:dis[i]=min[ dis[j]]+cost(从j到i的距离),e=(j,i)∈E} ] 即等于(s到j的最短距离加上j到i的距离)中的最小的,j是与i相连的顶点。

       先反着想,想要求到i的就得求到j的,同样想要求到j的短距离,就得求与j相连的点的。这样追根溯源到s上,会发现此时d[s]是确定的,s到与其相连的顶点的距离也是确定的,原来还是得正着计算啊。

       从s出发,因为两个值都是可以确定的,所以第一次执行那个式子后,与s相连的点的值都会被更新,并且会确定一个与s相连的点的最短路,再继续执行那个式子,又会确定一个(每次执行都要一个循环把所有的点试一遍,因为这样才能适用以任何一个点作为起点的情况),下面是代码:


#define INF 0x3f3f3f3f
struct edge{int from,to,cost;};
edge ee[max_e];//存储每条边的信息
int d[max_v];//表示s到每个顶点的最短距离
int v,e;//顶点数和边数
void bellman(int s){
    memset(d,INF,sizeof(d));
    d[s]=0;
    while(true){
        bool update=false;
        for(int i=0;i<e;i++){
            edge et=ee[i];
            if(d[et.from]!=INF&&d[et.to]>d[et.from]+et.cost){
                d[et.to]=d[et.from]+et.cost;
                update=true;
            }
        }
        if(!update) break;//如果不再进行更新就退出
    }
}


然后在挑战程序设计竞赛上,又专门写了一个函数来判断是否有负圈,下面是代码:


//如果返回TRUE则存在负圈
bool find_negative_loop(){
    memset(d,0,sizeof(d));
    for(int i=0;i<v;i++){
        for(int j=0;j<e;j++){
            edge et=ee[i];
            if(d[et.to]>d[et.from]+et.cost){
                d[et.to]=d[et.from]+et.cost;
                //如果第n次仍然更新了,则存在负圈;
                if(i==v-1) return true;
            }
        }
    }
    return false;
}

因为如果不存在负圈,只需要循环v-1次就行了,所以在第一个代码的基础上稍微改动一下就行,只需要添加一个计数器。这是最终版代码:


//返回true计算最短路成功,返回false存在负圈;
bool bellman(int s){
    memset(d,INF,sizeof(d));//赋最大值的技巧
    d[s]=0;
    int j=0;//添加的计数器
    while(true){
        bool update=false;
        for(int i=0;i<e;i++){
            edge et=ee[i];
            if(d[et.from]!=INF&&d[et.to]>d[et.from]+et.cost){
                d[et.to]=d[et.from]+et.cost;
                update=true;
            }
        }
        j++;
        if(!update) return true;
        if(j==v) return false;//当进行第v次循环时,说明存在负圈
    }
}

这是针对于有向图来说的,如果是无向图,自己把from和to交换后再输入一次就好。

 

例题代码:


#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#define MAX 0x3f3f3f3f

using namespace std;

struct edge
{
    int from,to,cost;
} e[20005];
int dis[1000],n,m;

int bellman(int s)
{
    memset(dis,MAX,sizeof(dis));
    dis[s]=0;
    int j=0;
    while(1)
    {
        int flag=0;
        for(int i=1; i<=2*m; i++)
        {
            edge ee=e[i];
            if(dis[ee.from]!=MAX && dis[ee.to]>dis[ee.from]+ee.cost)
            {
                dis[ee.to]=dis[ee.from]+ee.cost;
                flag=1;
            }
        }
        j++;
        if(!flag)
            return 1;
        if(j==n)
            return 0;
    }
}

int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
    {
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            e[i].from=x,e[i].to=y,e[i].cost=z;
            e[i+m].from=y,e[i+m].to=x,e[i+m].cost=z;
        }
        if(bellman(1))
            cout<<dis[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

3.floyd算法

 

推荐博客:http://ahalei.blog.51cto.com/4767671/1383613

 

例题代码:


#include <iostream>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#define N 1000
#define MAX 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int mpa[N][N];
int n,m;

void floyd()
{
    int i,j,k;
    for(k=1; k<=n; k++)
        for(i=1; i<=n; i++)
            for(j=1; j<=n; j++)
                if(mpa[i][j]>mpa[i][k]+mpa[k][j])
                    mpa[i][j]=mpa[i][k]+mpa[k][j];

}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
    {
        memset(mpa,MAX,sizeof(mpa));
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            if(z<mpa[x][y])
                mpa[x][y]=mpa[y][x]=z;
        }
        floyd();
        cout<<mpa[1][n]<<endl;
    }
    return 0;
}

4.SPFA算法


适用范围:给定的图存在负权边,这时类似Dijkstra等算法便没有了用武之地,而Bellman-Ford算法的复杂度又过高,SPFA算法便派上用场了。 我们约定有向加权图G不存在负权回路,即最短路径一定存在。


算法思想:我们用数组d记录每个结点的最短路径估计值,用邻接表来存储图G。我们采取的方法是动态逼近法:设立一个先进先出的队列用来保存待优化的结点,优化时每次取出队首结点u,并且用u点当前的最短路径估计值对离开u点所指向的结点v进行松弛操作,如果v点的最短路径估计值有所调整,且v点不在当前的队列中,就将v点放入队尾。这样不断从队列中取出结点来进行松弛操作,直至队列空为止

 

复杂度:期望的时间复杂度O(ke), 其中k为所有顶点进队的平均次数,可以证明k一般小于等于2。

 

实现方法:建立一个队列,初始时队列里只有起始点,再建立一个表格记录起始点到所有点的最短路径(该表格的初始值要赋为极大值,该点到他本身的路径赋为0)。然后执行松弛操作,用队列里有的点作为起始点去刷新到所有点的最短路,如果刷新成功且被刷新点不在队列中则把该点加入到队列最后。重复执行直到队列为空。

判断有无负环:如果某个点进入队列的次数超过N次则存在负环(SPFA无法处理带负环的图)

 

 

 

 

首先建立起始点a到其余各点的,最短路径表格: 


首先源点a入队,当队列非空时。


1、队首元素(a)出队,对以a为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有b,c,d三个点),此时路径表格状态为:

在松弛时三个点的最短路径估值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点
需要入队,此时,队列中新入队了三个结点b,c,d。


2队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e点),此时路径表格状态为:

在最短路径表中,e的最短路径估值也变小了,e在队列中不存在,因此e也要入队,此时队列中的元素为c,d,e。


3队首元素c点出队,对以c为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有e,f两个点),此时路径表格状态为:

在最短路径表中,e,f的最短路径估值变小了,e在队列中存在,f不存在。因此e不用入队了,f要入队,此时队列中的元素为d,e,f


4队首元素d点出队,对以d为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:

 

 

在最短路径表中,g的最短路径估值没有变小(松弛不成功),没有新结点入队,队列中元素为f,g。


5队首元素f点出队,对以f为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处有d,e,g三个点),此时路径表格状态为:


                              

在最短路径表中,e,g的最短路径估值又变小,队列中无e点,e入队,队列中存在g这个点,g不用入队,此时队列中元素为g,e。


6队首元素g点出队,对以g为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有b点),此时路径表格状态为:

在最短路径表中,b的最短路径估值又变小,队列中无b点,b入队,此时队列中元素为e,b。


7队首元素e点出队,对以e为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有g这个点),此时路径表格状态为:

 

在最短路径表中,g的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列中元素为b。


8队首元素b点出队,对以b为起始点的所有边的终点依次进行松弛操作(此处只有e这个点),此时路径表格状态为:

在最短路径表中,e的最短路径估值没变化(松弛不成功),此时队列为空了,最终a到g的最短路径为14。

 

上面的过程其实可以发现,一只在重复以下过程:

队首元素出队top,以top为起始点,对所有边的终点依次进行松弛操作。在松弛时如果这些点的最短路径值变小了,而这些点队列中都没有出现,这些点需要入队。

 

例题代码:


#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <queue>
#define MAX 0x3f3f3f3f

using namespace std;

int mpa[1000][1000],n,m;
int dis[1000];
int vis[1000];

queue<int> que;

void spfa(int s)
{
    dis[s]=0;
    que.push(s);
    vis[s]=1;
    int i;

    while(!que.empty())
    {
        int top=que.front();
        que.pop();
        vis[top]=0;

        for(i=0; i<=n; i++)     //对所有边的终点依次进行松弛操作
        {
            if(dis[i]>dis[top]+mpa[top][i])  // 如果这些点的最短路径值变小了
            {
                dis[i]=dis[top]+mpa[top][i];
                if(vis[i]==0) // 而这些点队列中都没有出现
                {
                    que.push(i); //入队
                    vis[i]=1;
                }
            }
        }
    }
}
int main()
{
    while(scanf("%d%d",&n,&m),n+m!=0)
    {
        memset(mpa,MAX,sizeof(mpa));
        memset(vis,0,sizeof(vis));
        memset(dis,MAX,sizeof(dis));
        for(int i=1; i<=m; i++)
        {
            int x,y,z;
            scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
            mpa[x][y]=mpa[y][x]=z;
        }
        spfa(1);
        cout<<dis[n]<<endl;
    }
    return 0;
}

这里再推荐一个博客;http://blog.csdn.net/chenzhenyu123456/article/details/46670451

这个博客将记录路径加入到各个算法当中了,这也是一个很重要的应用。





    原文作者:Bigdz
    原文地址: https://blog.csdn.net/newproblems/article/details/76472749
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