第十二章——多元积分学及其应用

2021年4月26日 4点热度 0条评论 来源: 王少海

多元积分学及其应用中,包含二重积分、三重积分、线积分、面积分。但考察的重点是二型线面积分,即对坐标的线积分和对坐标的面积分
之所以会重点考察二型线面积分,是因为这里会牵扯到多元积分里面的三大公式:
格林公式
高斯公式
斯托克斯公式
此外,在二型线面积分的考察中,可以顺带考察到其他内容

比如说:

  • 考察平面二型线积分,如果补线用格林公式,此时会同时考察到格林公式、线积分、二重积分;
  • 考察一个面积分,如果补面用高斯公式,此时会同时考察到高斯公式、面积分、三重积分。

第一节 三重积分

12.1.1 定义

三重积分也是一种和式的极限,是一种和定积分、二重积分完全对应的积分
定积分——一点函数值乘区间长度
二重积分——一点函数值乘小区域面积
三重积分——一点函数值乘小区域体积
上述定义仅会考察定积分,多元积分不会考察这种定义

12.1.2 性质

同二重积分,这里的性质也有不等式性质、积分中值定理,但不是重点

12.1.3 计算

计算是三重积分的重点

(一)直角坐标

多数情况是先一后二,但有时用先二后一合适

1、先一后二(先单后重)

2、先二后一(先重后单)

(二)柱坐标

【小结】适用柱坐标的情形
从被积函数的角度

从积分域的角度
中心轴为z轴的柱体(旋转体)

(三)球坐标

【小结】三种坐标系的选取
取决于被积函数和积分域,从被积函数的角度看

从积分域的角度看,中心域在原点的球体(或半个、或四分之一个、或球壳)
或外面是球面,里面是锥面

(四)利用奇偶性

(五)利用变量的轮换对称性

【例】

12.1.4 常考题型与典型例题

主要考察三重积分的计算

【真】奇偶性对称性

【真】

{解法一}
适合用先二后一
① 被积函数是一元函数
② 积分区域用z=z去截,所得的区域 D z D_z Dz 好求

{解法二}
利用变量的轮换对称性

【真】

{解法一}
轮换对称性+先一后二

{解法二}
轮换对称性+先二后一

【真】


先一后二
先二后一

柱坐标

*T

关于积分区域代入被积函数的问题
可代入的为:线积分、面积分
不可代入的为:重积分,如二重积分、三重积分

理由:
前者是在表面
后者包含内部

第二节 曲线积分

第一型:对弧长的线积分
第二型:对坐标的线积分

12.2.1 对弧长的线积分(第一类线积分)

(一)定义

二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y) 沿着平面曲线 L L L 的线积分

(二)性质

第一类线积分与曲线的路径方向无关

(三)计算(平面)

计算方法取决于曲线的方程形式

直接法
利用奇偶性
利用对称性

1、直接法

依据曲线方程的不同形式,使用不同的方法

参数方程形式
直角坐标形式
极坐标方程形式

(1)参数方程形式

(2)直角坐标方程形式

(3)极坐标方程形式

【使用原则】
曲线方程适合用什么形式表示,就采用对应的方法

2、利用奇偶性

3、利用对称性

对于平面第一类线积分,曲线方程可代入被积函数中直接计算!!

(四)计算(空间)

前面所说,空间曲面有两种表现形式,参数形式以及曲面联立的形式;其中对于两曲面联立的形式不方便计算,最终仍得转换成参数形式进行计算

第一类线积分在转化为定积分计算时,积分限需保证从小到大
第二类线积分,需保证从起点到终点。

12.2.2 对坐标的线积分(第二类线积分)

(一)定义

第二类线积分是有方向的

(二)性质

一型线积分:函数值乘弧长,与路径无关
二型线积分:函数值乘有向弧段的投影,有正负之分

(三)计算方法(平面)

直接法
格林公式
补线后用格林公式
利用线积分与路径无关

1、直接法

2、格林公式

将平面封闭曲线上的线积分归结为这个平面封闭曲线所围成的区域上二重积分的计算

格林公式要求封闭曲线

3、补线用格林公式

对于平面线积分,曲线不封闭的情况,一般采取补线的方式实现封闭条件

4、利用线积分与路径无关

需满足“与路径无关”才可使用

该方法有两个步骤:
① 首先需要判定线积分与积分路径无关
② 计算

(1)线积分与路径无关的判定

单连通:通俗地说,单连通指的是一个区域D,这个区域不能有洞
若出现了一个洞,变成了环形区域,那就不是单连通了。

(2)计算
① 改换路径

改成平行坐标轴的折线来计算
先沿着x后沿y;或先沿y后沿x

② 利用原函数计算

若积分与路径无关,则 P d x + Q d y Pdx+Qdy Pdx+Qdy 一定是某个函数的全微分,即等于 d F ( x , y ) dF(x,y) dF(x,y)

实际上就是一元定积分中的莱布尼兹公式在线积分中的体现,此时称 F ( x , y ) F(x,y) F(x,y) P d x + Q d y Pdx+Qdy Pdx+Qdy 的原函数。

关于求原函数的方法:①凑微分、②偏积分

首选凑微分法,若不可行,再选择偏积分法

【小结】
如果线积分与路径无关,那么有两种方法。要么改换路径,要么利用原函数。(原函数如果好找,优先找原函数)

【大结】
求线积分的思路:
s1、首先看曲线 L L L 是否封闭,
若封闭,则用格林公式;
若不封闭,则看是否与路径无关。

s2、判断是否与路径无关,
若与路径无关,则可用(改路径法、原函数法);
若与路径有关,则可用(直接法、补线用格林公式)。

(四)两类线积分的联系

(五)计算方法(空间)

这里的 cos ⁡ α \cos{\alpha} cosα cos ⁡ β \cos{\beta} cosβ 指的是有向曲线在这一点的切线向量的方向余弦

1、直接法

2、斯托克斯公式

对于平面的第二类线积分,如果封闭的话,用格林公式;
对于空间的第二类线积分,如果封闭的话,用斯托克斯公式。

将一个空间封闭曲线 L L L 的线积分,转化成该封闭曲线上的一个第一类面积分,其中,这个面“以这个封闭曲线为界” ,形状任意,只要以 L L L 为边界都行,这个 L L L 是有方向的


同样也可以转换为第二类面积分

其中,第一个适用于空间曲线是一张平面曲线;
因为在选面时,可以选择平面,最简单。
其他的一般用第二个

12.2.3 常考题型与典型例题

主要考察曲线积分的计算

题型一 第一类曲线积分的计算

【真】


由于是线面积分,所以可将积分曲线直接代入被积函数进行计算

利用奇偶性

本题无奇偶性,需用直接法,但使用直角坐标系下的计算较麻烦,这里采用的是参数形式和极坐标形式两种方法

【真】


【变题】

变题中,无对称性,也无法将曲线方程代入被积函数计算,需老老实实用直接法计算,这里使用的是参数法

【真】

题型二 第二类曲线积分的计算

【真】

直接法
补线用格林公式

第三节 曲面积分

第四节 多元积分应用

第五节 场论初步

    原文作者:王少海
    原文地址: https://blog.csdn.net/qq_36323561/article/details/116145034
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