递归——深度优先搜索(DFS)——以滑雪问题为例(自顶而下)

2022年3月8日 68点热度 0条评论 来源: chanxe

一、问题:滑雪

问题描述:小明喜欢滑雪,为了获得速度,滑的区域必须向下倾斜,而且当你滑到坡底,你不得不再次走上坡或者等待升降机来载你。小明想知道在一个区域中最长底滑坡。区域由一个二维数组给出。数组的每个数字代表点的高度。下面是一个例子:

1  2  3  4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

 

一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一,当且仅当高度减小。在上面的例子中,一条可滑行的滑坡为 24-17-16-1 . 当然 25-24-23-...-3-2-1 更长。事实上,这是最长的一条.

 

  • 输入描述:输入的第一行表示区域的行数 R和列数 C (1 ≤R,C≤100). 下面是 RR 行,每行有 C 个整数,代表高度 h ,0≤h≤10000.

  • 输出描述:输出最长区域的长度.

  • 样例输入

 

5 5
1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

  

  • 样例输出:25

二、问题分析

  • 简述:从二维数组中,找到一条满足条件(一个人可以从某个点滑向上下左右相邻四个点之一,当且仅当高度减小)节点的个数。

  • 可以采用DFS算法,搜索出以一个节点为起点,最远可以抵达的地方,并记录长度(其中节点个数)

三、问题的图解

1 2 3 4 5
16 17 18 19 6
15 24 25 20 7
14 23 22 21 8
13 12 11 10 9

  

依此输入为例(以21所在位置为起点)

下面展示三张搜索的过程

 

 

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105,mod=1e9+7;
int a[N][N];
int n,m;
int tmp;
 
int dx[4]={1,0,-1,0};
int dy[4]={0,1,0,-1};
int h[N][N];//记录坐标(i,j)的答案,以(i,j)为起点的路径最长多少 
 
int dfs(int x,int y){//以(x,y)为起点的遍历
    int mx=0;
    if(h[x][y])return h[x][y];// 记录为0的路径避免重复计算 
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
        if(nx>=1&&nx<=n&&ny>=1&&ny<=m&&a[nx][ny]<a[x][y]){//递归出口:找不到更低的去处 
            mx=max(mx,dfs(nx,ny));//递归体:只要能在周围找到能去的路径,递归调用去找能去路径的最大值 
        } 
    }
    return h[x][y]=mx+1;//最终求出周围路径最大值+1就是(x,y)为起点的最长滑坡长度 
}
// dfs: 这个算法会尽可能深的搜索树的分支 ,#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=105,mod=1e9+7;
int a[N][N];
int n,m;
int tmp;
 
int dx[4]={1,0,-1,0};
int dy[4]={0,1,0,-1};
int h[N][N];//记录坐标(i,j)的答案,以(i,j)为起点的路径最长多少 
 
int dfs(int x,int y){//以(x,y)为起点的遍历
    int mx=0;
    if(h[x][y])return h[x][y];// 记录为0的路径避免重复计算 
    for(int i=0;i<4;i++){
        int nx=x+dx[i],ny=y+dy[i];
        if(nx>=1&&nx<=n&&ny>=1&&ny<=m&&a[nx][ny]<a[x][y]){//递归出口:找不到更低的去处 
            mx=max(mx,dfs(nx,ny));//递归体:只要能在周围找到能去的路径,递归调用去找能去路径的最大值 
        } 
    }
    return h[x][y]=mx+1;//最终求出周围路径最大值+1就是(x,y)为起点的最长滑坡长度 
}
// dfs: 这个算法会尽可能深的搜索树的分支 ,时间复杂度为O(N) 
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dfs(i,j);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            ans=max(ans,h[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            scanf("%d",&a[i][j]);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            dfs(i,j);
        }
    }
    int ans=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            ans=max(ans,h[i][j]);
        }
    }
    printf("%d\n",ans);
}

  

五、递归思想总结

  • 归纳假设:一个节点为起点的最深路径为周围节点最深路径加一

  • 递归模型

    • f(x,y):路径的长度

    • f(x,y)==1 当四周找不到更低的地方(无处可去)(递归出口)

    • f(x,y)==max(f(x-1,y),f(x+1,y),f(x,y+1),f(x,y-1))+1(递归体)

六、感悟:

先将大问题分解成一个基础问题+一个小一层级问题,并用递归模型表示出来,利用图文结合方法加快效率。最后落地。

 

    原文作者:chanxe
    原文地址: https://www.cnblogs.com/chanxe/p/15995430.html
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