50个概率题

2017年3月4日 7点热度 0条评论 来源: YiyangJump

1. 袜子抽屉

一个抽屉有红袜子和黑袜子,随机取出两支袜子都是红袜子的概率是0.5,(a)抽屉里最少有几只袜子?(b)如果抽屉中黑袜子的数量是偶数,抽屉里最少有几只袜子?
(a)4
(b)21

2. 连胜

为了激励小明的网球生涯,如果他在三盘中连赢2盘,他爹就给他奖励,小明每盘可从他爹和俱乐部冠军中选一个作为对手,但不能连续选择一个人2次,即“爹-冠军-爹”或“冠军-爹-冠军”。冠军的水平比他爹高。小明应该选择哪种顺序?

3. 轻浮的陪审员

三人陪审团中有2位以概率p独立地做出正确的决定,第三个人靠抛硬币做决定,最后以多数原则做出最后决定。另一个陪审团只有一个人,以概率p做正确决定。哪个陪审团更公正

4. 抛到6为止

平均需要掷几次色子才会掷出6?

  • 解法1:
  • 解法2:设平均需要掷m次色子才会掷出6,这是一个期望值。若第一次掷出的不是6(概率为q=1-p=5/6),则还需要掷m次,共掷m+1次;若第一次掷出6(概率为p=1/6),则不需要再掷了,共掷1次。又总的期望应该是m,则有qx(m+1)+px1=m,解得m=1/p=6
  • 解法3:
    这是一个伯努利过程,首次成功的总实验次数俯冲参数为p的几何分布,次数的期望为1/p=6

5. 方形中的硬币

在一个游戏中,一位玩家从5英尺的距离处抛掷一枚直径3/4英寸的便士到1平方英寸的方形桌面上。若便士完全落在桌子内,他将获得5先令,但无论输赢都不能拿回他的便士,如果便士落在桌子上,他赢的机会有多大。
不知道我翻译错没有,答案是1/16。

6. Chuck-a-Luck

Chuck-a-Luck是一种赌博游戏,玩家可给1,2,3,4,5,6中的任意数字下注,可同时给不同的数字下不同的筹码。庄家抛3个色子,若玩家的数字出现在1个,2个或3个色子中,他将相应地赢取所下注筹码的1倍、2倍、3倍,并赢回自己的筹码,否则输掉他下注的筹码。玩家们每单位筹码的期望损失是多少?
这个问题的理解有点难度,容易以玩家的角色带入,若把问题看作庄家每单位筹码的期望盈利是多少则会简单很多。这样我们可以合理地假设所有玩家给每个数字下注的机会是均等的,把所有玩家抽象为一个玩家,他每次给1,2,3,4,5,6都下注一个单位的筹码。

  1. 当我们(庄家)开出三个不同的数字时,玩家获利3个单位,同时损失3个单位,我们没有盈利;这种情况第一个色子有6个数字可选,第二个有5个,第三个四个,有6x5x4=120种排列,每个色子有6种取法,三个色子共有6x6x6=216种排列,发生的概率是 120216
  2. 当我们开出2个一样的数字时,玩家获利3个单位,同时损失4个单位,我们盈利1个单位,平均每单位筹码盈利 16 个单位筹码;该情况下从3个色子中取2个作为一样的数字,有3种取法,这两个色子的有6个数字可选,第三个色子只有5个数字可选,有 (32) x6x5=90种排列,发生的概率是 90216
  3. 当我们开出3个一样的数字时,玩家获利3个单位,同时损失5个单位,我们盈利2个单位,平均每单位筹码盈利 26=13 单位的筹码;这种情况在6个数字中选一个作为重复3次的数字,有6种取法,三个色子都只能从这个数字中选择,共6种排列,发生的概率是 6216

三种情况的概率之和为1,不会再有别的情况了。因此我们庄家的期望收益是

0×120216+16×90216+13×6216=172160.0787 (比0.0398的50年中国国债收益高多了,还是不如房地产,果然是地产兴邦)。

因此玩家们的每单位筹码的损失是0.0787。 转轮相当于更多面的色子,指针或珠子停住的位置上的数字相当于色子开出的点数,比扔色子盈利更高,玩家损失更多, 所以说玩家还是要远离赌博。

7. 治疗强迫症赌徒

轮盘上有38个等可能的数字,如果玩家猜的数字中了,他将获得35倍的筹码以及他下注的筹码;否则输掉他下注的筹码。小明他爹不听小明的劝阻,总是在轮盘的13号位赌1块钱。为了帮助治疗他爹的强迫症,小明总是赌20块钱他爹将再36轮后亏本,(他爹亏本了就给小明20块钱,没亏本就挣小明20块钱),小明能让他爹吃到教训吗?

  • 这个问题首先要搞清楚小明他爹在36轮后亏本的概率分布,什么情况下亏本,什么情况下不亏本。试着算一下,36轮中只要赢一次, +35×1+(1)×35=0 ,他爹正好不亏,36轮全输了才亏本,因此他爹36轮后亏本的概率分布为
情况 亏本 不亏本
概率 (3738)360.383 10.383=0.617

因此小明他爹从小明那盈利的期望: 20×0.617+(20)×0.383=4.68

  • 小明他爹每轮从赌场那盈利的期望: 35×138+(1)×3738=238
    36轮后从赌场盈利的期望: 238×361.89
  • 最后,小明他爹36轮后盈利的总期望: 4.681.89=2.99

哈哈,看来小明可能先吃到教训。不过要是小明运气好的话,可能小明他爹在第一次亏掉36+20=56块钱之后就不玩了。

8. 一手完美桥牌

桥牌一般是扑克去掉大小王后的52张牌,4位玩家每人发13张牌。我们常听说某人被发了13张同花顺。在一副洗好的桥牌里获得一手同花顺的概率是多少?

4(1313)(5213)=6.299×1012

9. Craps

Craps,也就是掷骰子,是美国玩起来最快也最流行的赌博游戏。每次掷2个骰子并合计点数,先掷出7或11的获胜,一旦掷出2,3或12则输了。掷出了其他的点数称为point,如果你先掷出的是point,那么你需要一直掷骰子直到你再掷出一次同样的point就算赢,掷出7则算输。每个玩家赢的概率有多大?

  • 2个骰子的和的分布律:
total 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
p 136 236 336 436 536 636 536 436 336 236 136
  • 第一次掷骰子情况
case total sum
win 7,11 6/36+2/36=8/36
lose 2,3,12 1/36+2/36+1/36=4/36
point 4,5,6,8,9,10 /36+4/36+5/36+5/36+4/36+3/36=24/36

掷出point之后,需要重复掷骰子,虽然每次掷骰子有三种情况,输、赢和“再来一次”。但是总的来说你只有2个结果,输或者赢。如果你第一次掷的point是4,那么往后你掷出4就赢,掷出7就输,所以你赢的(条件)概率为p4/(p4+p7)=(3/36)/(3/36+6/36)=1/3,你可以理解为:将没事的情况里无限细分,最后所有赢的概率的和的极限就是1/3。其他的条件概率同理有:
5:p5/(p5+p7) = (4/36)/(4/36+6/36) = 2/5
6:p6/(p6+p7) = (5/36)/(5/36+6/36) = 5/11
8:p8/(p8+p7) = (5/36)/(5/36+6/36) = 5/11
9:p9/(p9+p7) = (4/36)/(4/36+6/36) = 2/5
10:p10/(p10+p7) = (3/36)/(3/36+6/36) = 1/3

因此总的来说赢的概率为
8/36 + (3/36 x 1/3 + 4/36 x 2/5 + 5/36 x 5/11 + 5/36 x 5/11 + 4/36 x 2/5 + 3/36 x 1/3) ≈0.49293

那么玩家没单位筹码的盈利期望为:1x(1-0.49293) +(– 1)x0.49293 = -0.01414, 每单位筹码的损失率是1.41%

再回头来看看条件概率的计算。假设你掷出point(赢)的概率为P,再算上你掷出7(输)的概率为6/36,那么你“再来一次”的概率为R=1-P-6/36。因此从第二次掷骰子开始(包括第二次),你赢的概率为
P+RP+R2P+R3P+… = P(1+R+R2+R3+…) = P/(1-R) = P/[1-(1-P-6/36)] = P/(P+6/36),与上面的计算相同。

10. 个人对于赌注的承受实验

(a) 瓮中有10个黑球和10个白球,你指定颜色黑或白,再随机取球,若球的颜色和你指定的颜色匹配,你赢的10块钱。如果玩这个游戏需要花钱,你最多愿意花多少钱去玩这个游戏,假设只玩一次。
(b) 有的朋友有许多黑球和白球,他随意往瓮里求了若干白球和黑球,这次你最多愿意花多少钱玩?
A能算出期望,是5块钱,但是大部分人真不愿意付出5块钱,就玩一次,大多数人估计只愿意付出几毛钱或者几分钱。这个赌博游戏要是真设计成这样,玩一次只要几毛钱,黑白球比例还是1:1,那么庄家肯定要亏惨,但是你要玩家至少出5块钱那肯定没人玩。
(b) 和a一样,你猜中的概率是0.5,就算瓮里全部是黑球,在你不知道的情况下,你的选项还是2个,猜中的概率还是0.5。不过这游戏恐怕更没人玩了,条件太少了,让人觉得根本就是瞎扯。哈哈,实际上两个游戏一样都是瞎猜。

11. 沉默的合作

两个陌生人被分开地要求从所有数字中选择一个正数,如果两个人选择的数字恰好相同则会获得奖励,你会选择哪个数字?
这听起来像是个0概率事件。但是这种选择不是随机选择,每个数字对人们的吸引力是不一样的。一想到要选一个别人也很可能会选择的数,没人会选择超过个位数的数,1最自然的想法,也是最多被选择的数,有的人也选择3和7。

12. Quo Vadis? (拉丁语,你去往何处?)

2个仅通过密码联系的陌生人约定星期四中午12点在纽约会面,准备干一票大的。他们都不熟悉纽约,结果这俩2逼出发后才发现他们忘记约定在纽约的那里会面。然而他们还是想见面,你说他们会去哪里?
帝国大厦,机场,火车站信息台,自由女神像,时代广场,都是1964年能想到的地方。 当陌生人知道到达那里是多么困难的时候,自由女神像就会被排除。 机场距离城市距离很远也会被排除。 在我(作者)看来,有两个重要的火车站将被排除。 这将留下帝国大厦或时代广场。 我会选择帝国大厦,因为时代广场日益庞大。 我认为如果他们在旧金山或巴黎见过面,他们的问题会更容易,不是吗?

13. 囚犯的抉择

A,B,C三位申请假释的囚犯,有着同样良好的记录。假释委员会通过了其中2位囚犯的申请,但是囚犯们还不知道是他们3人中的哪2位。囚犯A有个预警朋友知道谁将被允许假释。囚犯A觉得不太好意思直接问自己是否被释放,于是他想问B和C是否被释放。他认为他现在被释放的概率是2/3,一旦预警回答”B将被释放”,那么它自己被释放的概率就变成了1/2。因此A打消了问预警的念头,他害怕自己被释放的概率减小。这种想法显然是错误的,请问错在哪?
他的样本空间考虑错了
谁被释放这是一个事件m:A,B,C被释放的情况有AB, AC, BC三种情况,
再考虑另一个事件n:预警回答B或C, (A只询问预警B和C的情况)
根据贝叶斯公式,当预警说B被释放时,A被释放的后验概率为

P(m=ABn=B)====P(m=AB,n=B)P(n=B)P(m=AB)×P(n=Bm=AB)P(m=AB)×P(n=Bm=AB)+P(m=BC)×P(n=Bm=BC)13×113×1+13×1223

14. 收集优惠券

麦片盒中的优惠券有1至5号,每盒麦片里都有一张优惠券,获得每种优惠券的机会均等,集齐这5种优惠券可以得到一个奖励,平均买多少盒麦片可以集齐一套优惠券?

这跟做多少次实验首次成功差不多,可以把这个问题看作五段伯努利过程,每一段的参数不一样:

  1. 第一段伯努利过程中,获得所需优惠券的概率为1,因此只需买1盒;
  2. 第二段伯努利过程,因为已经得到一种优惠券了,我想要的优惠券变为剩下的四种,所以获得所需优惠券的概率为4/5,伯努利过程中首次成功的实验次数服从参数为p几何分布, 其分布列为
    P(k)=p(1p)k1,k=1,2, 几何分布的期望为1/p,因此获得第二种所需优惠券需要买1/p=1/(4/5)=5/4=1.25盒;
  3. 第三段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为3/5,需要买5/3=1.67盒;
  4. 第四段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为2/5,需要买5/2=2.5盒;
  5. 第五段伯努利过程中获得所需优惠券的概率为1/5,需要买5/1=5盒;

至此收集完5中优惠券平均共需买麦片
1+1.25+1.67+2.5+5= 11.42盒

15.音乐会的一排座位

8位单身汉和7位美丽的模特随机坐在音乐会中一排座位中的任意位置。平均出现几对男女邻座?
1对邻座刚好坐着一对男女的情况为“男女”或“女男” ,发生的概率是
8/15×7/14+7/15×8/14=8/15
也就是说,1对邻座平均坐着1×8/15+0×(1-8/15)=8/15对男女。15个座位共有14对邻座,根据和的期望等于期望的和,14对邻座中男女对数的期望等于1对邻座的男女对数期望的14倍。因此15个座位产生的男女对数为14*8/15=7.4667对

16.第二好能成为亚军吗?

8位运动员参加网球比赛,赛程如下图

假设每场比赛的胜负只有运动员的水平决定。最好的运动员一定获得冠军,那么第二好的运动员获得亚军的概率是多少?
4/7,第二好的运动员要获得亚军必须在finals才与第一好相遇,那么他在第一轮要被分在和第一好不同的另一半边。第一好占了一个位置,所以是4/7

17. 双胞胎骑士

(a)亚瑟王举办Jousting比赛(两个骑士拿着长矛对冲),8位骑士参加,包括双胞胎Balin和Balan,依然按照16题中的赛程比赛,求他俩在比赛中相遇的概率?
这里不知道各个骑士水平谁好谁坏,只能假设每个骑士赢的概率都是1/2.
假设双胞胎中的一位被分在某个位置,不妨设为1,另一位和他在同一小组(如位置2)的概率为1/7, 而此时相遇大概率为1;
另一位和他在相邻的小组(如位置3或4)的概率为2/7, 而此时相遇大概率为1/4;
另一位在另一半大组(如位置5,6,7,8)的概率为4/7, 而此时相遇大概率为1/16;
因此他两相遇的概率为

171+2714+47116=14

(b)将(a)中的8改为

2n ?

n p
1 1
2 1/2
3 1/4
n 1/ 2n1

或者:
2n 中的n表示要比赛n轮,若1人被随机分到这一大半边,另一人被分到另一大半边的概率为 2n12n1 ,其中一人杀到第n轮的概率为 12n1 ,两人都杀到第n轮的概率为 12n112n1=122(n1) ,所以两人在第 n 轮相遇的概率为

2n12n1122(n1)

两人在第

i 轮相遇的概率为



2i12n1122(i1)

相遇的总概率为第

1,2,3,,n 轮相遇的概率之和


i=1n2i12n1122(i1)=12n1i=1n12i1=22n1i=1n12i=22n1(112n)=12n1

18.抛均匀的硬币

抛100次硬币,正好50次正面朝上的概率?
很简单,二项分布

p=(10050)(12)100=100!50!50!(12)100

难点是没有计算器怎么办?

根据斯特林公式(Stirling’s approximation)



n!2πnn+12en

有时也能简便一点

19.艾萨克·牛顿帮助塞缪尔·佩皮斯

佩皮斯写信给牛顿问下面那件事是最可能发生的
(a) 掷6个骰子,至少得到1个6
(b) 掷12个骰子,至少得到2个6
(c) 掷18个骰子,至少得到3个6

20. 三角决斗

A,B和C玩三角手枪决斗。 所有人都知道,A的命中率是0.3,C是0.5,B不会失误。 他们将按照A,B,C循环的顺序自由选择目标决斗,直到最后一个人活下来。A的策略应该是什么?

如上图,若A先射C, A赢的概率是0.21,若A先射击B, A赢的概率将大于0.21. 因此A应先射B。此时的局面是AC互射,A赢的情况只可能为C一直射不中A, 而A在最后一次射击时射中了C, 因此A赢的概率为
C射1次A没射中, A第1次射就射死C: 0.5×0.3+
C射2次A没射中, A第2次射才射死C: 0.52×0.7×0.3+
C射3次A没射中, A第3次射才射死C: 0.53×0.72×0.3+
C射4次A没射中, A第4次射才射死C: 0.54×0.73×0.3+

这是个无穷递减等比数列求和,比值为0.5x0.7=0.35
0.5×0.3×(1+0.5×0.7+(0.5×0.7)2+(0.5×0.7)3+)=0.5×0.3×110.35=3/13
因此,若A先射B, A赢的概率为 0.21+0.3×3/13=0.279 .
起码A的生还几率大了近7个点

21.放回抽样还是不放回抽样

两个装有红球和黑球的桶。A桶有2个红球和1个黑球,B桶有101个红球和100个黑球。桶被随机选择。在第一个球被取出并报告颜色后你可以决定它是否放回原来的桶中(当然你看不到是哪个桶),再从这个桶中取出第二个球(2个球来自同一个桶),你根据这2个球的颜色判断它们来自哪个桶,判断对了可获得奖励。

如果第一个取出的球是红色,被取出球的桶剩余的红球数与黑球数相等,这样不好做判断,因此最好放回;若第一个取出的球是黑色,被取出桶中的黑球更少了,有利于我们根据期望判断。
假设第1次取出红球,放回红球,再取出又是红球。
如果球来自A桶,这种情况发生的概率为1/2*2/3*2/3=0.222
如果球来自B桶,这种情况发生的概率为1/2*101/201*101/201=0.126
当球来自A桶,这种情况发生的概率大,因此我们推断球来自A桶
同样地有

    原文作者:YiyangJump
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