概率论中几种常见的分布形式(二项分布,均匀分布和指数分布)

2015年3月7日 10点热度 0条评论 来源: 黎辰

以下内容只是acm中涉及的简要概率论知识

----------------------------------------------------------二项分布-------------------------------------------------------------------------------------

一.伯努利概型

定义:在一定条件下进行n次独立重复实验,每次实验只有两个相互对立的结果A或!A,且P(A)=P,P(!A)=1-P=Q(0<P<1),则称这n次独立重复实验为N重伯努利实验或N重伯努利概型

定理:在n重伯努利实验中,事件A恰好发生k次的概率Pn(k)为:Pn(k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k) , k = 0,1,2,.....,n

二.二项分布

在n重伯努利实验中,用X表示事件A发生的次数,则X是一离散型随机变量,可能取值为:0,1,2,...n

其分布规律为:

P{X=K}=Pn(k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k), k = 0,1,2,.........n

则称X服从参数为n,p的二项分布,记为X~B(n,p).

显然满足:

(1)非负性: P>k;

(2)规范性:sum ( P(k)) (  0<=k<=n ) = 1;

当n等于1时,X的分布服从参数为p的两点分布

三.二项分布的数学期望和方差

设X~B(n,p),其分布律为

P{X=k} = Pn(k) = C(n,k)*p^k*q^(n-k) ( k = 0,1,2.......n)

因X可看成n重伯努利实验中事件A发生的次数,用用Xi(i=1,2,.....,n)表示事件A在第i次实验中发生的次数,则x1,x2,.....xn相互独立,同时服从参数为p的(0-1)分布

所以E(Xi) =p,  

D(Xi) = E(Xi^2)-E(Xi)^2 = p - p^2 = p(1-p) = p*q; (1)

由两点分布的方差公式得到:

方差公式: s^2 = ( (m-x1)^2 + (m-x2)^2+......+(m-xn)^2 ) / n

两点分布:

1的概率为p,0的概率为(1-p)

均值E(x) = p

方差:

D(x) = p((1-p)^2) + (1-p)((0-p)^2) = p(1-p)

所以二项分布部分(1)得证

然后根据全期望公式对期望求和即可

E[x] = sum ( E[xi] ) = n*p;

D[x] = sum ( D[xi] ) = n*p*q;

----------------------------------------------均匀分布----------------------------------------------------------------

一.定义:

设连续随机变量X的一切可能值充满一个有限区间[a,b],且在该区间内任意 点概率的密度相同,即密度函数f(x)在区间[a,b]上为常量,称此分布为均匀分布 ,记作U(a,b)

当X在[a,b]上服从分布U(a,b)时,记为X~U(a,b).

二.均匀分布的意义:

在区间[a,b]上服从均匀分布的随机变量X,落在区间[a,b]中任意等长度的子区间内的可能性是相同的.

三.均匀分布的概率密度与分布函数:

1.概率密度

在区间[a,b]上概率密度f(x)=C(常数),于是

定义积分操作为inte( a , b )[]  a,b为上下限

inte(a,b)[C]dx = C*(b-a) = 1 => C = 1/(b-a)

又因为随机变量X不可能取得区间[a,b]外的值,所以在[a,b]外,概率密度为0,于是概率密度为

f(x) = { 1/(b-1) , a <= x <= b ;  0 , else }

2.分布函数(就是到-oox的密度函数的积分

-------------------------------------------------指数分布--------------------------------------------------------------------------------------

一.定义:

二.密度函数

三.分布函数

四.指数分布的重要性质:无记忆性

杜宇任意s,t > 0,有

P{ X > s+t | X > s } = P{X>t}

根据条件概率公式可以轻易证明,我就不证了

期望:

E(x) = inte ( -oo , +oo ) [xf(x)]dx = 1/

方差:

D(x) = E(x^2) - ( E(x) ) ^2 = E(x)^2

    原文作者:黎辰
    原文地址: https://blog.csdn.net/qq_24451605/article/details/44114825
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